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Fiche de révision Terminale spé

Notions de logique, ensembles

Chapitre 1 — les briques du raisonnement : assertions, connecteurs, quantificateurs, puis le langage des ensembles.

De Boole à De Morgan (1806–1871) : la logique devient un calcul, fondement de toutes les mathématiques.

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Chapitre 1 Vue d'ensemble

Au programme

Logique

Assertions, connecteurs $\neg,\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow$
De Morgan, prédicats et quantificateurs

Ensembles

Appartenance, inclusion, parties
Union, intersection, différence, complémentaire

L'idée forte

Une table de vérité définit chaque connecteur ; un diagramme éclaire chaque opération sur les ensembles.

Partie 1 Le point de départ

Assertion et négation

Définition

Une assertion est un énoncé qui est soit vrai (V), soit faux (F). Sa négation $\neg A$ inverse sa valeur :

$$\begin{array}{c|c} A & \neg A \\ \hline \text{V} & \text{F} \\ \text{F} & \text{V} \end{array}$$

Exemple

$\sqrt2\lt 3$ est vraie ; $\pi=3{,}14$ est fausse.

Partie 1 Combiner deux assertions

Conjonction et disjonction

« et » ($\wedge$) et « ou » ($\vee$)

$$\begin{array}{c|c|c|c} A & B & A\wedge B & A\vee B \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} \\ \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{V} \\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \end{array}$$

À retenir

Le « ou » mathématique est inclusif : $A\vee B$ est vraie dès que l'une au moins des deux l'est.

Partie 1 ★ Le connecteur clé

L'implication

Définition

$A\Rightarrow B$ est l'assertion $(\neg A)\vee B$. Elle ne peut être fausse que dans un seul cas :

$$\begin{array}{c|c|c} A & B & A\Rightarrow B \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \text{V} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{V} & \text{V} \\ \text{F} & \text{F} & \text{V} \end{array}$$

Conséquence

Une implication peut être vraie avec une hypothèse fausse : « $3$ est pair $\Rightarrow 3$ est multiple de $2$ » est vraie.

Partie 1 Deux outils essentiels

Équivalence et contraposée

Équivalence

$A\Leftrightarrow B$ signifie $(A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow A)$ : les deux assertions ont la même table de vérité.

Contraposée

$$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow(\neg B\Rightarrow\neg A)$$

Une implication et sa contraposée sont équivalentes (à ne pas confondre avec la réciproque $B\Rightarrow A$).

Partie 1 Calculer sur les assertions

Propriétés des connecteurs

Propriétés

Associativité de $\wedge$ et de $\vee$.
Transitivité : $\big((A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow C)\big)\Rightarrow(A\Rightarrow C)$.
Distributivité de $\wedge$ sur $\vee$ et de $\vee$ sur $\wedge$.

À noter

Toutes ces équivalences se vérifient en comparant les tables de vérité des deux membres.

Partie 1 ★ Nier un « et » / un « ou »

Les lois de De Morgan

Propriété

$$\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow(\neg A)\vee(\neg B)$$ $$\neg(A\vee B)\Leftrightarrow(\neg A)\wedge(\neg B)$$

En mots

La négation d'un « et » est un « ou » — et réciproquement. Indispensable pour nier une proposition.

Partie 1 Parler de « tout » et « il existe »

Prédicats et quantificateurs

Définition

Un prédicat $P(x)$ sur un référentiel $E$ devient une assertion pour chaque valeur de $x$. On le quantifie :

$\forall x\in E,\ P(x)$ : « pour tout $x$ de $E$ ».
$\exists x\in E,\ P(x)$ : « il existe au moins un $x$ ».

Unicité

$\exists\,! \,x\in E,\ P(x)$ : « il existe un unique $x$ » tel que $P(x)$ soit vraie.

Partie 2 Le langage des ensembles

Appartenance et inclusion

Définition

$x\in E$ : l'objet $x$ est un élément de $E$. $F$ est inclus dans $E$ si tous ses éléments sont dans $E$ :

$$F\subset E \Leftrightarrow (\forall x\in F,\ x\in E)$$

$F\subset E$ : la partie $F$ est entièrement contenue dans $E$.

Partie 2 Premiers ensembles remarquables

Parties, ensemble vide, égalité

Définitions

Ensemble des parties : $F\in\mathcal{P}(E)\Leftrightarrow F\subset E$.
Ensemble vide $\varnothing$ : aucun élément.
$x\in E \Leftrightarrow \{x\}\subset E$.

Égalité par double inclusion

$$E=F \Leftrightarrow (E\subset F)\wedge(F\subset E)$$

Partie 2 Réunir

L'union

Définition

$$A\cup B=\{\,x\mid (x\in A)\vee(x\in B)\,\}$$

Les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (zone colorée).

Partie 2 Ce qui est commun

L'intersection

Définition

$$A\cap B=\{\,x\mid (x\in A)\wedge(x\in B)\,\}$$

Les éléments dans $A$ et dans $B$. Si $A\cap B=\varnothing$, les parties sont disjointes.

Partie 2 Retrancher

La différence

Définition

$$A\setminus B=\{\,x\mid (x\in A)\wedge(x\notin B)\,\}$$

Les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$.

Partie 2 Le « reste » dans E

Le complémentaire

Définition

Pour une partie $A$ de $E$ :

$$\complement_E A=E\setminus A=\{\,x\in E\mid x\notin A\,\}$$

La zone colorée est $\complement_E A$ : tout $E$ sauf $A$.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Implication$A\Rightarrow B \Leftrightarrow \neg A\vee B$

Contraposée$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow(\neg B\Rightarrow\neg A)$

De Morgan$\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow\neg A\vee\neg B$

Quantificateurs$\forall$ (tout), $\exists$ (au moins un), $\exists!$ (un seul)

Inclusion$F\subset E\Leftrightarrow(\forall x\in F,\ x\in E)$

Opérations$\cup$ (ou), $\cap$ (et), $\setminus$, $\complement_E A$

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

$A\Rightarrow B$ peut être vraie même quand $A$ est fausse (relire la table).
Ne pas confondre une implication et sa réciproque : $A\Rightarrow B$ n'est pas $B\Rightarrow A$.
De Morgan : la négation d'un « et » est un « ou » (et inversement).
Distinguer l'élément $x$ et le singleton $\{x\}$ : $x\in E$ mais $\{x\}\subset E$.

Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Quelle est la contraposée de $A\Rightarrow B$ ?

$\neg B\Rightarrow\neg A$.

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Q2Que vaut $\neg(A\wedge B)$ ?

$\neg A\vee\neg B$ (loi de De Morgan).

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Q3Comment s'écrit « $F$ est inclus dans $E$ » ?

$\forall x\in F,\ x\in E$.

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Q4Que contient $A\cap B$ ?

Les éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$.

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