Chapitre 2 — la boîte à outils du démonstrateur : sept façons rigoureuses de prouver une proposition.
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Choisir le bon mode de raisonnement selon la forme de la proposition rend une démonstration simple.
Pour prouver $A\Rightarrow B$, on suppose $A$ vraie et on enchaîne des implications jusqu'à $B$.
Exemple : $x^2=x-3 \Rightarrow x^4=-5x+6$ (vrai, même si un tel $x$ n'existe pas).
Partir de $A$ et arriver à $B$ par une suite de $\Leftrightarrow$.
Prouver séparément $A\Rightarrow B$, puis $B\Rightarrow A$.
Dès que la chaîne d'équivalences devient délicate, on passe à la double implication.
Si $P\neq 0$ a pour degré $n$, alors $\deg(P^2)=2n$ et $\deg(XP)=n+1$, donc $2n=n+1$, soit $n=1$.
Pour $P=aX+b$, l'identification donne $a=1$, $b=0$. Conclusion :
$A\Rightarrow B$ équivaut à sa contraposée $\neg B\Rightarrow\neg A$ : on prouve celle qui est la plus simple.
Exemple : « $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair » se prouve via « $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair ».
Pour prouver $A\Rightarrow B$, on suppose $A$ vraie et $B$ fausse ; aboutir à une contradiction force $B$ à être vraie.
Très utile pour prouver une propriété négative (un objet n'a pas une propriété).
Supposons $\sqrt2=\dfrac{p}{q}$ irréductible. Alors $p^2=2q^2$, donc $p$ est pair : $p=2p'$.
On obtient $q^2=2p'^2$, donc $q$ est pair aussi. Mais alors $\dfrac{p}{q}$ se simplifie par $2$ : absurde, car la fraction était irréductible.
On démontre la propriété dans plusieurs cas, choisis pour que leur réunion recouvre toute la situation.
Exemple : $n^2+n$ est pair, que $n$ soit pair ou impair.
$P(0)$ tombe, et chaque domino fait tomber le suivant : tous tombent.