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Fiche de révision Terminale spé

Applications

Chapitre 3 — le langage des applications : injectivité, surjectivité, bijection, composition et réciproque.

La notion moderne de fonction, précisée par Dirichlet puis formalisée par Bourbaki au XXᵉ siècle.

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Chapitre 3 Vue d'ensemble

Au programme

Les objets

Produit cartésien, correspondance, application
Injection, surjection, bijection

Les opérations

Composition, application réciproque
Images directes / réciproques, indicatrice

L'idée forte

Une application associe à chaque $x$ un unique $f(x)$ ; tout le reste décrit la façon dont $E$ se « projette » sur $F$.

Partie 1 Le point de départ

Le produit cartésien

Définition

$E\times F$ est l'ensemble des couples $(x,y)$ avec $x\in E$ et $y\in F$ :

$$E\times F=\{(x,y)\mid x\in E,\ y\in F\}$$

Cardinal

Pour des ensembles finis : $\operatorname{Card}(E\times F)=\operatorname{Card}(E)\times\operatorname{Card}(F)$.

Partie 1 ★ La définition centrale

Correspondance et application

Définition

Une application $f:E\to F$ associe à chaque $x\in E$ un unique $f(x)\in F$ :

$$\forall x\in E,\ \exists!\,y\in F,\quad y=f(x)$$

Le graphe est fonctionnel : pas deux flèches partant d'un même $x$.

Partie 1 Vocabulaire

Image, égalité, notations

Définitions

Image : $\operatorname{Im}(f)=f(E)=\{f(x)\mid x\in E\}$.
Ensemble des applications de $E$ dans $F$ : $\mathcal{F}(E,F)=F^E$.

Égalité de deux applications

Même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et $f(x)=g(x)$ pour tout $x$.

Partie 1 Changer l'ensemble de départ

Restriction et prolongement

Restriction

Pour $A\subset E$, la restriction $f|_A:A\to F$ coïncide avec $f$ sur $A$.

Prolongement

$g$ prolonge $f$ si $E\subset F$ et si $f$ et $g$ coïncident sur $E$ : $\forall x\in E,\ f(x)=g(x)$.

Partie 2 ★ Au plus un antécédent

Application injective

Définition (et caractérisation)

$$f(x_1)=f(x_2)\ \Longrightarrow\ x_1=x_2$$

Des éléments distincts ont des images distinctes (un élément de $F$ peut rester sans antécédent).

Partie 2 ★ Au moins un antécédent

Application surjective

Définition (et caractérisation)

$$\forall y\in F,\ \exists x\in E,\quad y=f(x)$$

Tout élément de $F$ est atteint (ici celui du milieu a deux antécédents).

Partie 2 ★ Un unique antécédent

Application bijective

Définition

$f$ est bijective si elle est injective et surjective : chaque $y\in F$ a un et un seul antécédent.

Un appariement parfait entre $E$ et $F$ : c'est ce qui rend $f^{-1}$ possible.

Partie 3 Enchaîner deux applications

La composition

Définition

$$g\circ f:E\to G,\qquad (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)$$

On applique $f$, puis $g$. Exemple : $f(x)=x^2+1$, $g(x)=\sqrt x$ donnent $g\circ f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

Partie 3 Règles de calcul

Propriétés de la composition

Propriétés

Associative : $(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$.
$f,g$ injectives (resp. surjectives, bijectives) $\Rightarrow g\circ f$ l'est aussi.
$g\circ f$ injective $\Rightarrow f$ injective ; $g\circ f$ surjective $\Rightarrow g$ surjective.

Attention

La composition n'est pas commutative : en général $g\circ f\neq f\circ g$.

Partie 4 ★ Remonter la flèche

L'application réciproque

Définition

Si $f:E\to F$ est bijective, $f^{-1}:F\to E$ renvoie chaque $y$ sur son unique antécédent.

Exemple : $t\mapsto t^2$ sur $\mathbb{R}_+$ a pour réciproque $t\mapsto\sqrt t$.

Partie 4 Reconnaître une réciproque

Identité et caractérisation

Propriété

Pour $f$ bijective : $f^{-1}\circ f=\mathrm{Id}_E$ et $f\circ f^{-1}=\mathrm{Id}_F$.

Critère

Si $f\circ g=\mathrm{Id}_F$ et $g\circ f=\mathrm{Id}_E$, alors $f$ et $g$ sont bijectives et réciproques l'une de l'autre.

Partie 4 Règles de calcul

Propriétés de la réciproque

Propriétés

$$\left(f^{-1}\right)^{-1}=f \qquad (v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$

Attention à l'ordre

La réciproque d'une composée renverse l'ordre des facteurs : $u^{-1}\circ v^{-1}$.

Partie 5 Images d'ensembles

Image directe et image réciproque

Définitions

$$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\} \qquad f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$$

À retenir

$f^{-1}(B)$ a un sens même si $f$ n'est pas bijective : c'est l'ensemble des antécédents des éléments de $B$.

Partie 5 Comportement vis-à-vis de ∪, ∩

Propriétés des images

Propriétés

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$, mais seulement $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.
$f^{-1}$ « commute » avec $\cup$ et $\cap$ : $f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$.

Lien avec surjectivité

$f$ est surjective si, et seulement si, $f(E)=F$.

Partie 6 Coder une partie par 0 et 1

La fonction indicatrice

Définition

$$\mathbf{1}_A(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x\in A \\ 0 & \text{si } x\notin A \end{cases}$$

Propriétés

$$\mathbf{1}_{A\cap B}=\mathbf{1}_A\,\mathbf{1}_B \qquad \mathbf{1}_{\complement_E A}=1-\mathbf{1}_A$$

Et $\mathbf{1}_{A\cup B}=\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-\mathbf{1}_{A\cap B}$, avec $\displaystyle\sum_{x\in E}\mathbf{1}_A(x)=\operatorname{Card}(A)$.

Partie 7 Indexer par un ensemble

Les familles indexées

Définition

Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est une application $I\to E$. Une suite est une famille indexée par $\mathbb{N}$ ; un $p$-uplet, par $[\![1,p]\!]$.

Union et intersection généralisées

$$\bigcap_{i\in I} A_i=\{x\mid \forall i\in I,\ x\in A_i\} \quad \bigcup_{i\in I} A_i=\{x\mid \exists i\in I,\ x\in A_i\}$$

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Application$\forall x\in E,\ \exists! y\in F,\ y=f(x)$

Injective$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$

Surjective$\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ y=f(x)$

Bijectiveinjective $+$ surjective ; $f^{-1}$ existe

Composition$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ ; $(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$

Réciproque$f^{-1}\circ f=\mathrm{Id}_E$, $\ f\circ f^{-1}=\mathrm{Id}_F$

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

Injective = « au plus un » antécédent ; surjective = « au moins un ».
$f^{-1}(B)$ (image réciproque) ne suppose pas $f$ bijective.
En général $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ : l'égalité n'est pas garantie.
La composition n'est pas commutative : $g\circ f\neq f\circ g$.

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Quiz éclair

Q1Que signifie « $f$ injective » ?

$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ (au plus un antécédent).

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Q2Que signifie « $f$ surjective » ?

Tout $y\in F$ a au moins un antécédent.

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Q3Que vaut $(v\circ u)^{-1}$ ?

$u^{-1}\circ v^{-1}$.

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Q4Que vaut $f^{-1}\circ f$ pour $f$ bijective ?

$\mathrm{Id}_E$.

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