Chapitre 4 — comparer et regrouper les éléments d'un ensemble : relations d'équivalence et relations d'ordre.
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Tout repose sur quatre propriétés : réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité.
Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est un prédicat à deux variables sur $E\times E$ : pour $x,y\in E$, $x\mathcal{R}y$ est vraie ou fausse.
Dans $\mathbb{R}$ : $x\leqslant y$, $x=y$. Dans $\mathcal{P}(E)$ : l'inclusion $X\subset Y$.
Quatre propriétés : Réflexive, Symétrique, AntiSymétrique, Transitive.
Une relation est une équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
L'égalité sur tout ensemble ; la congruence modulo $\alpha$ : $x\equiv y\ [\alpha]\iff \exists k\in\mathbb{Z},\ x-y=k\alpha$.
Classe de $x$ : $\widetilde{x}=\{y\in E\mid x\mathcal{R}y\}$. L'ensemble des classes est le quotient $E/\mathcal{R}$. De plus $x\mathcal{R}y\Leftrightarrow\widetilde{x}=\widetilde{y}$.
Modulo $4$ : quatre classes, et l'addition « tourne » ($\widetilde{3}+\widetilde{1}=\widetilde{0}$).
Les classes d'équivalence forment une partition de $E$ : non vides, deux à deux disjointes, de réunion $E$.
Chaque élément appartient à une classe et une seule.
Une relation est un ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. On note alors $(E,\preceq)$ un ensemble ordonné.
$\leqslant$ dans $\mathbb{R}$, l'inclusion $\subset$, et la divisibilité dans $\mathbb{Z}$.
L'ordre est total si deux éléments distincts sont toujours comparables ; partiel sinon.
Diagramme de Hasse des diviseurs de $12$ : ordre partiel ($4$ et $6$ sont incomparables). $\leqslant$ sur $\mathbb{R}$ serait, lui, une simple chaîne (total).
$[0,1]$ est majoré par $2$ et minoré par $-1$ (parmi bien d'autres).
Le minimum $\min(A)$ (resp. maximum $\max(A)$) est un minorant (resp. majorant) de $A$ qui appartient à $A$.
$\max([0,1])=1$, mais $[0,1[$ n'a pas de maximum.
$\sup([0,1[)=1$ : le plus petit des majorants, même si $1\notin A$. De même $\inf(\,]0,1])=0$.
$S=\sup(A)$ si, et seulement si : $\forall a\in A,\ a\preceq S$ et tout $b\prec S$ est dépassé par un élément de $A$.
Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ possède une borne supérieure.