Chapitre 5 — l'architecture de l'algèbre : des lois de composition aux groupes, anneaux, corps et espaces vectoriels.
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Chaque structure se construit en ajoutant des axiomes à une loi de composition.
Une loi de composition interne sur $E$ est une application qui à deux éléments en associe un troisième, dans $E$ :
L'addition sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{R}^n$ ; la composition des translations du plan.
$(\mathbb{R},+)$ : associative, commutative, neutre $0$, symétrique de $x$ égal à $-x$.
$f:(E,*)\to(F,\cdot)$ est un morphisme si elle transporte la loi. Si $f$ est bijective, c'est un isomorphisme.
$f(x*y)=f(x)\cdot f(y)$. Exemple : $\exp$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ sur $(\mathbb{R}_+^*,\times)$.
Dans $\mathbb{R}$, la multiplication est distributive sur l'addition.
Une loi externe fait agir un corps $\mathbb{K}$ sur $E$ : $\cdot:\mathbb{K}\times E\to E$, $(\alpha,x)\mapsto\alpha\cdot x$.
$(G,*)$ est un groupe si la loi est associative, possède un neutre, et si tout élément a un symétrique. Il est abélien si elle est commutative.
$(\mathbb{Z},+)$ et $(\mathbb{R}_+^*,\times)$ sont abéliens. Mais $(\mathbb{N},+)$ n'en est pas un (pas de symétriques).
$(\mathbb{U},\times)$ (complexes de module $1$), $(\mathbb{U}_n,\times)$ (racines $n$-ièmes de l'unité), $\mathfrak{S}(E)$ (permutations).
Une partie non vide $H$ de $(G,*)$ est un sous-groupe si, et seulement si :
$(\mathbb{Z},+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ ; $(\mathbb{U}_n,\times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{U},\times)$.
$(A,*,\intercal)$ est un anneau si $(A,*)$ est un groupe abélien (neutre $0$), si $\intercal$ est associative avec un neutre $1$, et si $\intercal$ est distributive sur $*$.
$(\mathbb{Z},+,\times)$ est commutatif ; l'anneau $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices ne l'est pas si $n\geqslant 2$.
Un corps $\mathbb{K}$ est un anneau dans lequel tout élément non nul est inversible pour la deuxième loi.
$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sont des corps ; et $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ en est un dès que $p$ est premier.
Un espace vectoriel, lui, combine un groupe abélien et une loi externe sur un corps.
$\mathbb{C}$ comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel, $\mathbb{R}^n$, les fonctions affines, les suites récurrentes linéaires d'ordre $2$.
$F$ est un sous-espace vectoriel si $0_E\in F$ et si $F$ est stable par combinaison linéaire : $\alpha x+\beta y\in F$.
Dans $\mathbb{R}^2$ : tout vecteur $v=\alpha\,e_1+\beta\,e_2$ (combinaison linéaire des vecteurs de base).
$(a_1,\dots,a_n)$ est une base si tout vecteur s'écrit de manière unique $x=\sum_{i=1}^n\lambda_i a_i$. L'entier $n$ est la dimension $\dim(E)$.
$\big((1,0),(0,1)\big)$ : $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$, donc $\dim(\mathbb{R}^2)=2$.
Projection sur $E_1$ selon $E_2$ : $\vec u=\vec{u_1}+\vec{u_2}$ (décomposition unique).
$\mathrm{Ker}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et $\mathrm{Im}(f)$ un sous-espace vectoriel de $F$.