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Fiche de révision Terminale spé

Combinatoire

Chapitre 7 — l'art de compter : combien de façons de choisir, d'ordonner, de tirer, sans tout énumérer.

Née de l'étude des jeux de hasard avec Pascal et Fermat, la combinatoire irrigue aujourd'hui les probabilités et l'informatique.

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Chapitre 7 Vue d'ensemble

Au programme

Les principes

Cardinal, principes additif et multiplicatif
Produit cartésien

Les modèles

Listes, arrangements, permutations, combinaisons
Triangle de Pascal, binôme de Newton

La question clé

Pour chaque dénombrement : l'ordre compte-t-il ? Y a-t-il répétition ?

Partie 1 Compter les éléments

Ensembles finis et cardinal

Définition

$E$ est fini s'il est en bijection avec $[\![1,n]\!]$. L'entier $n$ est le cardinal de $E$, noté $\mathrm{Card}(E)$ ou $|E|$.

Conventions

$\mathrm{Card}\,\varnothing=0$ ; un singleton est de cardinal $1$.

Partie 2 Réunir des paquets disjoints

Principe additif

Proposition

Si $A$ et $B$ sont disjoints : $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}\,A+\mathrm{Card}\,B$.

Sinon, on retranche l'intersection : $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}\,A+\mathrm{Card}\,B-\mathrm{Card}(A\cap B)$.

Partie 3 Des couples ordonnés

Produit cartésien

Définition

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$ est l'ensemble des couples. L'ordre compte : $(a,b)\neq(b,a)$.

Puissance

$A^n=\underbrace{A\times\cdots\times A}_{n\text{ fois}}$ : l'ensemble des $n$-uplets d'éléments de $A$.

Partie 4 ★ Le principe roi

Principe multiplicatif

Proposition

$\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}\,A\times\mathrm{Card}\,B$. Plus généralement, des choix successifs se multiplient.

$2$ recettes $\times\ 3$ épices $=6$ plats — l'arbre des possibles a $6$ feuilles.

Partie 5 Ordre + répétition

Listes avec répétitions

Définition et dénombrement

Une $k$-liste avec répétitions est un $k$-uplet d'éléments de $E$ (ordonnés, répétitions permises). Leur nombre est :

$$n^k$$

Modèle

C'est le tirage successif avec remise ; aussi le nombre d'applications de $[\![1,k]\!]$ dans $E$.

Partie 6 Ordre, sans répétition

Arrangements (listes sans répétition)

Définition et dénombrement

Un arrangement est une $k$-liste de $k$ éléments distincts ($k\leqslant n$). Leur nombre est :

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=\underbrace{n(n-1)\cdots(n-k+1)}_{k\text{ facteurs}}$$

Modèle

Tirage successif sans remise (ex. un podium : $A_{23}^3=23\times22\times21$).

Partie 7 Tout ordonner

Permutations

Définition et dénombrement

Une permutation est un arrangement de tous les éléments ($k=n$), soit une bijection. Leur nombre est :

$$\mathrm{Card}\,\mathfrak{S}(E)=A_n^n=n!$$

Exemple

Les anagrammes du mot FRANÇOIS ($8$ lettres) : $8!=40\,320$.

Partie 8 ★ Sans ordre

Combinaisons

Définition et dénombrement

Une combinaison est une partie à $k$ éléments (l'ordre ne compte pas). Leur nombre, le coefficient binomial, est :

$$\binom{n}{k}=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Modèle

Tirage simultané (ex. $5$ cartes parmi $32$ : $\binom{32}{5}=201\,376$).

Synthèse ★ Choisir le bon modèle

Le tableau des dénombrements

Ordre × répétition

$$\begin{array}{c|c|c} & \textbf{ordre} & \textbf{sans ordre} \\ \hline \textbf{avec rép.} & n^k & \text{(hors prog.)} \\ \hline \textbf{sans rép.} & A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!} & \dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} \end{array}$$

La permutation est le cas $k=n$ d'un arrangement : $A_n^n=n!$.

Partie 8 Deux relations

Propriétés des coefficients binomiaux

Symétrie

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

Choisir $k$ éléments à garder, c'est choisir $n-k$ éléments à écarter.

Relation de Pascal

$$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$

Partie 8 Construire les binomiaux

Triangle de Pascal

Chaque terme = somme des deux au-dessus

La ligne $n$, colonne $k$ donne $\binom{n}{k}$ ; ici $3+3=6=\binom{4}{2}$ (relation de Pascal).

Partie 9 ★ Le résultat phare

Binôme de Newton

Formule

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}b^k$$

Les coefficients de $(a+b)^3$ sont la ligne $n=3$ du triangle. En particulier $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n$.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Additif$A,B$ disjoints : $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}\,A+\mathrm{Card}\,B$

Multiplicatif$\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}\,A\times\mathrm{Card}\,B$

$k$-listes (rép.)ordre $+$ répétition : $n^k$

Arrangementsordre, sans rép. : $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$

Combinaisonssans ordre : $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Newton$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

Avant de compter : l'ordre compte-t-il ? Y a-t-il répétition ?
Tirage simultané → combinaison ; successif sans remise → arrangement.
$\binom{n}{k}$ ne dépend pas de l'ordre : $\{a,b\}=\{b,a\}$.
Exploiter la symétrie $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ pour simplifier les calculs.

Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Tirage simultané de $5$ cartes parmi $32$ : quel modèle ?

Une combinaison : $\binom{32}{5}$.

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Q2Combien de $k$-listes avec répétition de $n$ éléments ?

$n^k$.

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Q3Que dit la relation de Pascal ?

$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$.

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Q4Combien de permutations d'un ensemble à $n$ éléments ?

$n!$.

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