u

Fiche de révision Terminale spé

Suites

Chapitre 8 — le comportement à l'infini d'une suite : converge-t-elle, diverge-t-elle, et vers quoi ?

La notion de limite, longtemps intuitive, fut formalisée au XIXe siècle avec les « epsilon » de Weierstrass.

Naviguez avec les flèches ← → du clavier, ou via le Sommaire.

Chapitre 8 Vue d'ensemble

Au programme

Limites

Convergence, divergence, opérations
Théorème des gendarmes, formes indéterminées

Outils puissants

Limite de $q^n$, sommes géométriques
Convergence monotone, suites adjacentes

L'idée forte

Deux familles d'outils : les opérations (calcul direct) et les théorèmes d'existence (gendarmes, monotonie).

Partie 1 ★ La définition

Suite convergente

Définition

$(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert centré en $\ell$ contient tous les termes à partir d'un certain rang :

$$\forall \varepsilon\gt 0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall n\geqslant n_0,\ |u_n-\ell|\lt \varepsilon$$

À partir du rang $n_0$, tous les termes tombent dans la bande $]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$. Limites de référence : $\dfrac{1}{n^k}\to0$, $\dfrac{1}{\sqrt n}\to0$.

Partie 1 Calculer une limite

Unicité et opérations sur les limites

Unicité

Si une suite converge, sa limite est unique.

Opérations (si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'$)

$u_n+v_n\to\ell+\ell'$ ; $\ \alpha u_n\to\alpha\ell$ ; $\ u_nv_n\to\ell\ell'$ ; $\ \dfrac{u_n}{v_n}\to\dfrac{\ell}{\ell'}$ (si $\ell'\neq0$).

Partie 1 Limites et ordre

Suites et inégalités

Passage à la limite

Si $u_n\gt 0$ pour tout $n$ et $u_n\to\ell$, alors $\ell\geqslant0$ : une inégalité stricte devient large.

Borne

Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse : $(-1)^n$ est bornée mais diverge.

Partie 1 ★ L'outil d'encadrement

Théorème des gendarmes

Théorème d'encadrement

Si $v_n\leqslant u_n\leqslant w_n$ et si $v_n\to\ell$ et $w_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$.

$u_n$ (en bleu) est « pris en tenaille » entre $v_n$ et $w_n$ qui convergent vers $\ell$.

Partie 2 Filer vers l'infini

Divergence vers l'infini

Définition

$u_n\to+\infty$ si tout intervalle $]a,+\infty[$ contient les termes à partir d'un certain rang :

$$\forall a\gt 0,\ \exists n_0,\ \forall n\geqslant n_0,\ u_n\gt a$$

Références et comparaison

$n^k\to+\infty$, $\sqrt n\to+\infty$. Si $u_n\leqslant v_n$ et $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$.

Partie 2 Les pièges du calcul

Opérations et formes indéterminées

Quatre formes indéterminées

$$\infty-\infty \qquad 0\times\infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$$

Méthode

Lever l'indétermination en factorisant le terme dominant (ex. $2n^2-3n+1=n^2\big(2-\tfrac{3}{n}+\tfrac{1}{n^2}\big)\to+\infty$).

Partie 3 ★ La suite géométrique

Limite de $q^n$

Théorème

si $|q|\lt 1$ : $\ q^n\to0$ ;
si $q\gt 1$ : $\ q^n\to+\infty$ ;
si $q\leqslant-1$ : pas de limite ($q=1$ donne $1$).

$(\tfrac32)^n$ explose vers $+\infty$ ; $(\tfrac12)^n$ décroît vers $0$.

Partie 3 Sommer à l'infini

Somme des termes d'une suite géométrique

Somme finie, puis limite

$$\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \quad\xrightarrow[n\to+\infty]{}\quad \frac{1}{1-x}\ \ (\text{si } |x|\lt 1)$$

Exemple

$\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}\to\frac{1}{1-\tfrac12}=2$.

Partie 4 ★ Exister sans calculer

Théorème de la convergence monotone

Théorème

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

La suite croissante bute sous le majorant $M$ : elle converge vers une limite $\ell\leqslant M$, sans qu'on connaisse $\ell$.

Partie 4 Sans plafond

Limite infinie et monotonie

Théorème

Une suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$ ; décroissante et non minorée, vers $-\infty$.

Exemple

La suite harmonique $h_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ croît sans majorant : $h_n\to+\infty$.

Partie 5 ★ Se refermer sur une limite

Suites adjacentes

Définition et théorème

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît et $v_n-u_n\to0$. Alors elles convergent vers une même limite.

L'écart $v_n-u_n$ se referme : les deux suites « piègent » la limite commune.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Converger$\forall\varepsilon\gt 0,\exists n_0,\forall n\geqslant n_0,|u_n-\ell|\lt \varepsilon$

Opérationssomme, produit, quotient des limites

Gendarmes$v_n\leqslant u_n\leqslant w_n$, $v_n,w_n\to\ell$ : $u_n\to\ell$

$q^n$$|q|\lt 1\to0$ ; $q\gt 1\to+\infty$ ; $q\leqslant-1$ : aucune

Monotonecroissante majorée $\Rightarrow$ converge

Adjacentes$(u_n)\nearrow,(v_n)\searrow,v_n-u_n\to0$ : même limite

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

Formes indéterminées $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\tfrac{0}{0}$ : factoriser le terme dominant.
Passage à la limite : une inégalité stricte devient large.
Bornée n'implique pas convergente (ex. $(-1)^n$).
$q^n$ : le cas $q\leqslant-1$ (pas de limite) est distinct de $|q|\lt 1$.

Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Une suite convergente est-elle bornée ? La réciproque ?

Oui, toujours bornée ; mais la réciproque est fausse ($(-1)^n$).

▸ cliquer pour révéler

Q2Que donne le théorème des gendarmes ?

$v_n\leqslant u_n\leqslant w_n$ avec $v_n,w_n\to\ell$ entraîne $u_n\to\ell$.

▸ cliquer pour révéler

Q3$\lim q^n$ pour $|q|\lt 1$ ? pour $q\gt 1$ ?

$0$ ; et $+\infty$.

▸ cliquer pour révéler

Q4Que conclut-on d'une suite croissante et majorée ?

Elle converge, vers une limite $\ell\leqslant$ majorant (sans la connaître).

▸ cliquer pour révéler