Chapitre 9 — le comportement d'une fonction près d'un point ou à l'infini, et les asymptotes qui en découlent.
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Une limite décrit une tendance ; géométriquement, elle se lit comme une asymptote.
La limite existe si, et seulement si, les limites à gauche et à droite coïncident.
Échelon : $\lim_{x\to0^-}f=0\neq\lim_{x\to0^+}f=1$, donc pas de limite en $0$.
$f+g\to\ell+\ell'$ ; $\ \lambda f\to\lambda\ell$ ; $\ fg\to\ell\ell'$ ; $\ \dfrac{f}{g}\to\dfrac{\ell}{\ell'}$ (si $\ell'\neq0$).
Si $f$ est définie en $a$ et $\lim_{x\to a}f=f(a)$, on dit que $f$ est continue en $a$ (chapitre suivant).
Si $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$ au voisinage de $a$ et si $g$ et $h$ tendent vers $\ell$, alors $f$ tend vers $\ell$.
Si $|f(x)-\ell|\leqslant u(x)$ et $u(x)\to0$, alors $f(x)\to\ell$.
Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ (ou en $-\infty$), la droite $y=\ell$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$.
Le signe de $f(x)-\ell$ donne la position de la courbe par rapport à son asymptote.
Si l'une des limites de $f$ en $a$ (à gauche ou à droite) vaut $\pm\infty$, la droite $x=a$ est asymptote verticale.
Ici $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ des deux côtés : la courbe « longe » la verticale $x=a$.
La courbe se colle à la droite $y=ax+b$ ; une limite infinie ne garantit pas toujours une asymptote.
La limite d'un polynôme en $\pm\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.
Comme pour les suites : factoriser le terme dominant pour lever l'indétermination.
Si $\lim_{x\to a}u(x)=\ell$ et $\lim_{X\to\ell}g(X)=\ell'$, alors $\lim_{x\to a}(g\circ u)(x)=\ell'$.
C'est le changement de variable $X=u(x)$ (ex. poser $X=-x$ pour $e^x$ en $-\infty$).
Si $u_n\to\ell$ et $\lim_{X\to\ell}g(X)=\ell'$, alors $g(u_n)\to\ell'$.
Permet de prouver qu'une fonction n'a pas de limite : $\cos x$ et $\sin x$ n'ont pas de limite en $+\infty$.
$e^x$ croît plus vite que $x$ (et que toute puissance) : l'exponentielle l'emporte.