Chapitre 10 — une courbe que l'on trace sans lever le crayon, et le théorème qui en fait un outil : le TVI.
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Une fonction continue ne saute pas : son graphe est un trait ininterrompu.
Cela suppose que $f$ est définie en $a$, et continue à la fois à gauche et à droite.
Continue : tracé « sans lever le crayon ». Discontinue : la courbe fait un saut.
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
$x\mapsto|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable (point anguleux).
Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues.
Polynômes, $\sqrt{\ }$, $\cos$, $\sin$, $\exp$ sont continues partout où elles sont définies.
Si $u_{n+1}=g(u_n)$, si $u_n\to\ell$ et si $g$ est continue en $\ell$, alors $\ell=g(\ell)$.
Les termes « grimpent » vers le point fixe, à l'intersection de $y=g(x)$ et $y=x$ : $\ell=g(\ell)$.
$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ : son graphe se trace sans lever le crayon.
Si $f$ est continue sur $I$, alors $f(I)$ est un intervalle. Sur $[a,b]$ : $f([a,b])=[m,M]$ (extrema atteints).
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
L'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution. La continuité est essentielle.
Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, alors $f(x)=k$ admet une unique solution.
La courbe strictement monotone ne croise la droite $y=k$ qu'une seule fois.
On localise $c$ avec $f(a)f(b)\leqslant0$, puis on coupe l'intervalle en deux à chaque étape pour resserrer l'encadrement.
Le théorème de Bolzano ($f(a)f(b)\leqslant0\Rightarrow\exists c,\ f(c)=0$) est le cas particulier $k=0$ du TVI.
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$.
$x\mapsto x^n$ et sa réciproque $\sqrt[n]{x}$ sont symétriques par rapport à $y=x$.
Pour $n\geqslant2$ et $a\geqslant0$, l'équation $x^n=a$ a une unique solution dans $\mathbb{R}_+$, notée $\sqrt[n]{a}$.
$\sqrt{\ }$ (réciproque du carré) et $\ln$ (réciproque de $\exp$) naissent du théorème de la bijection.