Chapitre 11 — les compléments : dériver une composée, lire la convexité dans $f''$, et les grands théorèmes (Rolle, accroissements finis).
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$f'$ règle les variations ; $f''$ règle la courbure.
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur », sans oublier le facteur $u'$.
$\big(e^{-x^2}\big)'=-2x\,e^{-x^2}$ et $\big(\sqrt{\sin x}\big)'=\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.
$f''=(f')'$, et par récurrence $f^{(n+1)}=\big(f^{(n)}\big)'$ avec $f^{(0)}=f$.
$f$ est convexe si sa courbe reste sous ses cordes ; concave si elle reste au-dessus.
$x^2$, $|x|$, $e^x$ sont convexes ; la corde (en ocre) est au-dessus de l'arc convexe.
$f$ convexe $\iff$ pour tout $a$, $f(x)\geqslant f(a)+(x-a)f'(a)$ : la courbe est au-dessus de chaque tangente.
La courbe convexe est prise « en sandwich » : sous ses cordes, au-dessus de ses tangentes.
$f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante $\iff$ $f''\geqslant0$.
On calcule $f''$ et on étudie son signe pour repérer les zones convexes et concaves.
Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, le point $A\big(a,f(a)\big)$ est un point d'inflexion.
En $A$, la tangente traverse la courbe : la concavité change de sens.
Si $f$ (dérivable sur un intervalle ouvert) admet un extremum local en $a$, alors $f'(a)=0$.
La réciproque est fausse : $f'(a)=0$ n'assure pas un extremum ($x^3$ en $0$).
$f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, avec $f(a)=f(b)$ : alors $\exists c\in\,]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
Il existe au moins une tangente horizontale entre $a$ et $b$.
En un point $c$, la tangente est parallèle à la corde $[AB]$.
Sur un intervalle $I$ : $f'\geqslant0\Rightarrow f$ croissante ; $f'\leqslant0\Rightarrow f$ décroissante ; $f'=0\Rightarrow f$ constante.
Ce principe, admis en Première, se démontre grâce au théorème des accroissements finis.