ln

Fiche de révision Terminale spé

Logarithme népérien

Chapitre 12 — la fonction réciproque de l'exponentielle, qui change les produits en sommes et résout $e^x=k$.

Inventé par Neper au XVII^e siècle pour simplifier les calculs, le logarithme transforme la multiplication en addition.

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Chapitre 12 Vue d'ensemble

Au programme

Définir

$\ln$, réciproque de $\exp$
Dérivée, propriétés algébriques

Exploiter

Limites, graphe, croissances comparées
Logarithme décimal, base $a$

L'idée forte

$\ln$ transforme un produit en somme : c'est sa propriété fondamentale.

Partie 1 ★ Réciproque de l'exponentielle

Définition

$$\text{pour } y\gt 0,\quad y=e^x \iff x=\ln y$$

$\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ ; c'est la bijection réciproque de l'exponentielle.

Les courbes de $\ln$ et $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Partie 1 Les réflexes de base

Premières propriétés

Valeurs et simplifications

$$\ln 1=0,\quad \ln e=1,\quad \ln(e^x)=x,\quad e^{\ln x}=x$$

Signe

$\ln x\gt 0 \iff x\gt 1$ et $\ln x\lt 0 \iff 0\lt x\lt 1$.

Partie 2 Dériver et varier

Dérivée de $\ln$

Formules

$$(\ln x)'=\frac{1}{x} \qquad \big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}$$

$\ln$ est donc strictement croissante sur $]0,+\infty[$ (car $\tfrac1x\gt 0$).

Exemple

$\big(\ln(x^2+1)\big)'=\dfrac{2x}{x^2+1}$.

Partie 3 ★ Produit en somme

Propriétés algébriques

Les règles

$$\ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$$

$$\ln\frac{1}{a}=-\ln a \qquad \ln a^n=n\ln a \qquad \ln\sqrt{a}=\tfrac12\ln a$$

Sur l'échelle des logarithmes, les longueurs s'ajoutent : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

Partie 4 Le comportement

Graphe et limites

Limites aux bornes

$$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$$

Strictement croissante, asymptote verticale $x=0$, passe par $(1,0)$.

Partie 5 ★ x l'emporte sur ln

Croissances comparées

Deux limites essentielles

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0 \qquad \lim_{x\to0^+}x\ln x=0$$

$\ln$ croît bien plus lentement que $x$ : leur quotient tend vers $0$.

Partie 5 Une limite de référence

Comportement près de $1$

Limite de référence

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$$

Près de $1$, $\ln x\approx x-1$ : la tangente en $(1,0)$ a pour pente $1$.

Partie 6 Le log des sciences

Logarithme décimal

Définition

$$\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$$

On a $\log 10=1$, $\log 100=2$, $\log 10^n=n$ : il compte les puissances de 10.

Usages

pH en chimie, décibels, échelle de Richter… partout où les ordres de grandeur comptent.

Partie 7 Généraliser les puissances

Exponentielle de base $a$

Définition

$$a^x=e^{x\ln a} \quad (a\gt 0)$$

Ceci étend les puissances à tout exposant réel et redonne $\ln(a^x)=x\ln a$.

Dérivée

$$\big(a^x\big)'=\ln a\,\cdot\,a^x$$

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Définition$y=e^x\iff x=\ln y$ ($y\gt 0$) ; $\ln1=0$, $\ln e=1$

Dérivée$(\ln x)'=\dfrac1x$ ; $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$

Produit$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln a^n=n\ln a$

Quotient$\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b$ ; $\ln\dfrac1a=-\ln a$

Limites$\lim_{0^+}\ln=-\infty$ ; $\lim_{+\infty}\ln=+\infty$

Croissances$\dfrac{\ln x}{x}\to0$ ; $\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1$

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

$\ln$ n'existe que pour $x\gt 0$ : toujours vérifier le domaine.
$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ : la règle vaut pour le produit, pas la somme.
$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ : ne pas oublier le $u'$ au numérateur.
$x$ l'emporte sur $\ln$ : $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ (et non l'inverse).

Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Résoudre $e^x=5$.

$x=\ln 5$.

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Q2Dérivée de $x\mapsto\ln(x^2+1)$ ?

$\dfrac{2x}{x^2+1}$.

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Q3Simplifier $\ln 8-\ln 2$.

$\ln\dfrac{8}{2}=\ln 4$.

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Q4Que vaut $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ ?

$0$ : $x$ l'emporte sur $\ln$.

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