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Fiche de révision Terminale spé

Primitives et équations différentielles

Chapitre 14 — remonter une dérivée pour retrouver $F$, et résoudre les équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$.

Les équations différentielles modélisent l'évolution du vivant et de la physique : désintégration, refroidissement, croissance.

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Chapitre 14 Vue d'ensemble

Au programme

Primitives

Définition $F'=f$, condition initiale
Tableaux usuels et composés

Équations différentielles

$y'=ay$ : solutions $Ce^{ax}$
$y'=ay+b$ : solution générale

L'idée forte

Primitiver, c'est dériver à l'envers : l'opération inverse de la dérivation.

Partie 1 ★ Dériver à l'envers

Primitive : définition et existence

Définition

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable et $F'=f$. Toute fonction continue admet des primitives.

Deux primitives diffèrent d'une constante : $G=F+c$ (courbes translatées verticalement).

Partie 1 Lever l'indétermination

Une condition initiale fixe la primitive

Unicité

Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.

Parmi toutes les primitives, une seule passe par le point $A(x_0,y_0)$.

Partie 1 Le formulaire

Primitives usuelles

À connaître

$$\begin{array}{c|c} \textbf{si } f(x)= & \textbf{alors } F(x)= \\ \hline x^{n}\ (n\neq-1) & \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \\ \dfrac{1}{x} & \ln x \\ e^{x} & e^{x} \\ \cos x & \sin x \\ \sin x & -\cos x \end{array}$$

Partie 1 Reconnaître un $u'$

Primitives et composition

Avec une fonction $u$

$$\begin{array}{c|c} \textbf{si } f= & \textbf{alors } F= \\ \hline u'\,u^{n} & \dfrac{u^{n+1}}{n+1} \\ \dfrac{u'}{u} & \ln|u| \\ u'\,e^{u} & e^{u} \\ u'\cos u & \sin u \end{array}$$

Exemple

$\displaystyle 2x(x^2+1)^4 \to \frac{(x^2+1)^5}{5}$ (avec $u=x^2+1$).

Partie 2 ★ L'équation linéaire

Équation $y'=ay$

Solutions

$$y'=ay \iff y(x)=Ce^{ax},\quad C\in\mathbb{R}$$

Faisceau d'exponentielles ; ici $a\lt0$ (décroissance vers $0$). Si $a\gt0$, croissance.

Partie 2 Une seule courbe

Condition initiale

Solution unique

$$f(x_0)=y_0 \ \Rightarrow\ f(x)=y_0\,e^{a(x-x_0)}$$

La donnée d'un seul point détermine entièrement la solution.

Exemple

$y'+2y=0$ avec $y(0)=1$ donne $y(x)=e^{-2x}$.

Partie 3 ★ Avec second membre

Équation affine $y'=ay+b$

Solutions ($a\neq0$)

$$y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a},\quad C\in\mathbb{R}$$

Solution particulière $-\tfrac{b}{a}$ ; les solutions convergent vers cet équilibre ($a\lt0$).

Partie 3 Modéliser le réel

Application : désintégration, demi-vie

Décroissance exponentielle

$c'(t)=-k\,c(t)$ donne $c(t)=c_0e^{-kt}$. La demi-vie $T$ vérifie $c(T)=\tfrac{c_0}{2}$.

$T=\dfrac{\ln 2}{k}$ : temps au bout duquel il reste la moitié de la quantité initiale.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Primitive$F'=f$ ; existe si $f$ continue

Toutes$G=F+c$ ; une seule vérifie $F(x_0)=y_0$

Usuelles$x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac1x\to\ln x$

Composée$u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|$

$y'=ay$$y=Ce^{ax}$

$y'=ay+b$$y=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

Une primitive est définie à une constante près : ne pas oublier le $+c$.
Primitive de $\dfrac{u'}{u}$ : c'est $\ln|u|$ — ne pas oublier la valeur absolue.
$y'=ay$ donne $Ce^{ax}$, pas $e^{ax}+C$.
$y'=ay+b$ : la solution constante est $-\dfrac{b}{a}$, pas $\dfrac{b}{a}$.

Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Une primitive de $x\mapsto x^2$ ?

$\dfrac{x^3}{3}\ (+\,c)$.

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Q2Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ ?

$\ln x$.

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Q3Solutions de $y'=3y$ ?

$x\mapsto Ce^{3x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

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Q4Solution constante de $y'=2y+6$ ?

$-\dfrac{b}{a}=-3$.

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