Chapitre 15 — l'aire sous une courbe, reliée aux primitives par le théorème fondamental de l'analyse.
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Intégrer et dériver sont des opérations réciproques : c'est le théorème fondamental.
Pour $f$ continue et positive sur $[a,b]$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses.
Cas de base : $\displaystyle\int_a^b k\,dx=k(b-a)$ (aire d'un rectangle).
Là où $f$ est négative, l'aire compte négativement : l'intégrale est une aire algébrique.
Au-dessus de l'axe : positif ; en dessous : négatif.
$F$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$ : intégrer, c'est primitiver.
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\big[\sin x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$.
On peut séparer une somme et sortir les constantes.
Conséquences utiles : $\displaystyle\int_a^a f=0$ et $\displaystyle\int_b^a f=-\int_a^b f$.
Si $f\geqslant0$ sur $[a,b]$ (avec $a\leqslant b$), alors $\displaystyle\int_a^b f\geqslant0$.
Si $f\leqslant g$ sur $[a,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f\leqslant\int_a^b g$ (on intègre une inégalité).
Le rectangle de hauteur $\mu$ a la même aire que celle sous la courbe.
L'aire des rectangles tend vers l'intégrale quand le pas diminue.
Pour intégrer un produit (souvent polynôme × $\cos$, $\sin$ ou $e^x$) : on dérive le polynôme.
On intègre la différence « courbe du haut moins courbe du bas ».