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Fiche de révision Terminale spé

Produit scalaire dans l'espace

Chapitre 17 — un nombre qui mesure angles et longueurs, et qui caractérise l'orthogonalité en 3D.

Le produit scalaire fait entrer les angles et les distances dans le calcul vectoriel : c'est l'outil métrique de l'espace.

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Chapitre 17 Vue d'ensemble

Au programme

Le produit scalaire
  • Cosinus, projeté, expression analytique
  • Norme, distance, bilinéarité
Orthogonalité
  • Droites, droite et plan, vecteur normal
  • Projetés orthogonaux et distances
L'idée forte

$\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0$ : l'orthogonalité devient un simple calcul.

Partie 1 ★ Angles et longueurs

Produit scalaire et cosinus

Définition
$$\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos(\vec u,\vec v)$$
O u v

Le signe du produit scalaire est celui du $\cos$ de l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$.

Partie 1 Trois autres expressions

Carré scalaire et projeté

À retenir
$$\vec u\cdot\vec u=\lVert\vec u\rVert^2 \qquad \vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\lVert\vec u\rVert^2+\lVert\vec v\rVert^2-\lVert\vec u-\vec v\rVert^2\big)$$
A B C H

Projeté : si $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.

Partie 1 ★ Mesurer dans une base

Base orthonormée et norme

Dans une base orthonormée
$$\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
O m M u

Triangle $OmM$ rectangle en $m$ : $\lVert\vec u\rVert^2=\underbrace{Om^2}_{x^2+y^2}+z^2$. Distance $AB=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert$.

Partie 1 Le calcul par coordonnées

Expression analytique

En base orthonormée
$$\vec u\,(x,y,z)\ \text{et}\ \vec v\,(x',y',z') \ \Longrightarrow\ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$$
Distance
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$
Partie 1 Manipuler les expressions

Bilinéarité et identités remarquables

Propriétés

Le produit scalaire est symétrique ($\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$) et bilinéaire (linéaire en chaque vecteur).

Identités remarquables
$$\lVert\vec u+\vec v\rVert^2=\lVert\vec u\rVert^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2$$
Partie 2 ★ L'angle droit

Vecteurs orthogonaux

Caractérisation
$$\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0 \iff xx'+yy'+zz'=0$$
u v

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur ; le produit scalaire nul de deux vecteurs non nuls signifie l'angle droit.

Partie 2 Sans forcément se couper

Orthogonalité de deux droites

Vecteurs directeurs $\vec u,\vec v$
$$(d)\perp(d') \iff \vec u\cdot\vec v=0$$
Attention

Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes ni coplanaires (orthogonales $\neq$ perpendiculaires).

Partie 2 ★ Deux directions suffisent

Droite orthogonale à un plan

Caractérisation
$$(d)\perp\mathcal P \iff \vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w=0$$
(d) P v w

Une droite est orthogonale au plan dès qu'elle l'est à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Partie 2 ★ La clé des plans

Vecteur normal à un plan

Caractérisation d'un plan
$$M\in\mathcal P \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$$
A n M P

$\vec n$ dirige une droite orthogonale au plan : il sert à écrire l'équation cartésienne (chapitre suivant).

Partie 3 Le point le plus proche

Projeté orthogonal sur une droite

Caractérisation
$$H\in(d) \quad\text{et}\quad \overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$$
(d) M H N u

$MH$ est la plus courte distance de $M$ à la droite : pour tout $N\in(d)$, $MH\leqslant MN$.

Partie 3 ★ Distance à un plan

Projeté sur un plan et distance

Formule de la distance
$$d(M,\mathcal P)=MH=\frac{\big|\overrightarrow{AM}\cdot\vec n\big|}{\lVert\vec n\rVert}$$
M H N d P

$H$ est le pied de la perpendiculaire ; $MH$ est la distance minimale de $M$ au plan.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Produit scalaire$\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos(\vec u,\vec v)$
Analytique$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$
Norme$\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Orthogonal$\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$
Normal au plan$M\in\mathcal P\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$
Distance$d(M,\mathcal P)=\dfrac{|\overrightarrow{AM}\cdot\vec n|}{\lVert\vec n\rVert}$
Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège
  • $\vec u\cdot\vec v$ est un nombre, pas un vecteur.
  • $\vec u\cdot\vec v=0$ avec $\vec u,\vec v$ non nuls signifie orthogonaux.
  • Droite $\perp$ plan : il suffit de l'orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires.
  • $xx'+yy'+zz'$ : valable uniquement en base orthonormée.
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Quiz éclair

Q1$\vec u(1,2,-1)\cdot\vec v(3,-1,1)$ ?
$3-2-1=0$ : $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.
▸ cliquer pour révéler
Q2$\lVert\vec u\rVert$ pour $\vec u(2,1,2)$ ?
$\sqrt{4+1+4}=3$.
▸ cliquer pour révéler
Q3Que signifie « $\vec n$ normal au plan $\mathcal P$ » ?
$\vec n$ dirige une droite orthogonale à $\mathcal P$, et $M\in\mathcal P\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$.
▸ cliquer pour révéler
Q4Distance de $M$ au plan de point $A$ et normal $\vec n$ ?
$\dfrac{|\overrightarrow{AM}\cdot\vec n|}{\lVert\vec n\rVert}$.
▸ cliquer pour révéler
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