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Fiche de révision Terminale spé

Géométrie analytique dans l'espace

Chapitre 18 — décrire droites, plans et sphères par des équations et des coordonnées.

Tout devient calcul : appartenance, intersection, distance, tangence se lisent sur les équations.

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Chapitre 18 Vue d'ensemble

Au programme

Droites et plans
  • Représentations paramétriques, équation cartésienne
  • Intersections, plans perpendiculaires, distance
La sphère
  • Équation, sphère de diamètre $[AB]$
  • Intersections avec un plan, une droite
L'idée forte

Un vecteur normal donne l'équation d'un plan ; une distance classe toutes les positions relatives.

Partie 1 ★ Décrire une droite

Représentation paramétrique d'une droite

Droite par $A(x_A,y_A,z_A)$, direction $\vec u(a,b,c)$
$$\begin{cases} x=x_A+t\,a \\ y=y_A+t\,b \\ z=z_A+t\,c \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$
(d) A M u

$M\in(d)\iff\overrightarrow{AM}=t\,\vec u$. Dans l'espace, une droite n'a pas d'équation cartésienne.

Partie 1 Se croisent, ou non

Position relative de deux droites

Selon les vecteurs directeurs
  • $\vec u,\vec u'$ colinéaires : droites parallèles.
  • $\vec u,\vec u'$ non colinéaires : sécantes ou non coplanaires.
(d) (d')

Cas dessiné : deux droites non coplanaires (l'une passe devant l'autre, sans point commun).

Partie 2 Un point et deux directions

Représentation paramétrique d'un plan

Plan par $A$, directions $\vec u(a,b,c)$ et $\vec v(a',b',c')$
$$\begin{cases} x=x_A+t\,a+t'a' \\ y=y_A+t\,b+t'b' \\ z=z_A+t\,c+t'c' \end{cases}\quad (t,t')\in\mathbb{R}^2$$
Plans de coordonnées

$(xOy):z=0$ ; $(yOz):x=0$ ; $(xOz):y=0$.

Partie 2 ★ La forme la plus utile

Équation cartésienne d'un plan

Plan de vecteur normal $\vec n(a,b,c)$
$$ax+by+cz+d=0,\qquad d=-(a\,x_A+b\,y_A+c\,z_A)$$
A n P

Réciproquement, $ax+by+cz+d=0$ est le plan de vecteur normal $\vec n(a,b,c)$.

Partie 2 Un test de produit scalaire

Intersection d'une droite et d'un plan

Plan (normal $\vec n$), droite (directeur $\vec u$)
  • $\vec n\cdot\vec u\neq0$ : la droite coupe le plan en un point.
  • $\vec n\cdot\vec u=0$ : droite parallèle ($\mathcal P\cap(d)=\varnothing$ ou $(d)\subset\mathcal P$).
En pratique

On injecte la représentation paramétrique dans l'équation du plan pour trouver $t$.

Partie 2 Deux plans, une arête

Intersection de deux plans

Vecteurs normaux $\vec n,\vec n'$
  • Colinéaires : plans parallèles.
  • Non colinéaires : plans sécants selon une droite.
P P' (d)

Deux plans sécants déterminent une droite : c'est l'autre façon de décrire une droite de l'espace.

Partie 2 Normales orthogonales

Plans perpendiculaires

Caractérisation
$$\mathcal P\perp\mathcal Q \iff \vec n\cdot\vec n'=0 \iff aa'+bb'+cc'=0$$
P Q n n'

Deux plans sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux le sont.

Partie 2 ★ La formule analytique

Distance d'un point à un plan

Plan $ax+by+cz+d=0$
$$d(M,\mathcal P)=\frac{\big|a\,x_M+b\,y_M+c\,z_M+d\big|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
À retenir

On reporte les coordonnées de $M$ dans l'équation, puis on divise par la norme du vecteur normal.

Partie 3 ★ La sphère

Équation cartésienne d'une sphère

Centre $\Omega(x_0,y_0,z_0)$, rayon $r$
$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$
r

Sphère de centre $\Omega$ et rayon $r$ : tous les points à distance $r$ de $\Omega$.

Partie 3 Forme développée

Reconnaître une sphère

Forme développée
$$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$$

Par mise sous forme canonique, c'est une sphère si $d\lt\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$, un point si égalité, $\varnothing$ sinon.

Partie 3 ★ Produit scalaire et sphère

Sphère de diamètre $[AB]$

Caractérisation
$$M\in\mathcal S \iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$$
A B M

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=IM^2-\tfrac{AB^2}{4}$ ; le lieu où ce produit est nul est la sphère de diamètre $[AB]$.

Partie 3 ★ Une section circulaire

Position relative d'une sphère et d'un plan

Selon $d(\Omega,\mathcal P)=h$
$$h\gt r:\varnothing \quad h=r:\text{tangent} \quad h\lt r:\text{cercle } \sqrt{r^2-h^2}$$
H h P

Si $h\lt r$, la section est un cercle de centre $H$ (projeté de $\Omega$) et de rayon $\sqrt{r^2-h^2}$.

Partie 3 Zéro, un ou deux points

Position relative d'une sphère et d'une droite

Selon $d(\Omega,\mathcal D)=h$
$$h\gt r:\varnothing \qquad h=r:\text{tangente} \qquad h\lt r:\text{deux points}$$
(d)

On compare la distance $d(\Omega,\mathcal D)$ au rayon : ici $h\lt r$, la droite est sécante (deux points).

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Droite (param.)$x=x_A+ta,\ y=y_A+tb,\ z=z_A+tc$
Plan (cartés.)$ax+by+cz+d=0$ ; normal $\vec n(a,b,c)$
Droite ∩ plan$\vec n\cdot\vec u\neq0$ : un point ; $=0$ : parallèle
Plans $\perp$$aa'+bb'+cc'=0$
Distance$\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Sphère$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$
Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège
  • Une droite de l'espace n'a pas d'équation cartésienne (paramétrique, ou deux plans sécants).
  • Deux droites non colinéaires peuvent être non coplanaires, pas seulement sécantes.
  • Distance et $aa'+bb'+cc'$ : repère orthonormé exigé.
  • $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ : sphère seulement si $d\lt\tfrac{a^2+b^2+c^2}{4}$.
Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Vecteur normal au plan $2x-y+3z-1=0$ ?
$\vec n(2,-1,3)$.
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Q2Quand une droite ($\vec u$) coupe-t-elle un plan ($\vec n$) en un point ?
Lorsque $\vec n\cdot\vec u\neq0$.
▸ cliquer pour révéler
Q3Centre et rayon de $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9$ ?
$\Omega(1,-2,0)$ et $r=3$.
▸ cliquer pour révéler
Q4$\mathcal S\cap\mathcal P$ lorsque $d(\Omega,\mathcal P)\lt r$ ?
Un cercle de centre $H$ et de rayon $\sqrt{r^2-h^2}$.
▸ cliquer pour révéler
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