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Fiche de révision Terminale spé

Probabilités

Chapitre 19 — du schéma de Bernoulli à la loi des grands nombres, en passant par l'espérance et la variance.

Répéter une expérience un grand nombre de fois fait émerger des régularités : c'est tout l'objet de ce chapitre.

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Chapitre 19 Vue d'ensemble

Au programme

Lois et variables
  • Épreuves successives, schéma de Bernoulli
  • Loi binomiale, espérance, variance
Échantillons et limites
  • Linéarité, indépendance, échantillon
  • Markov, Bienaymé-Tchebychev, grands nombres
L'idée forte

La moyenne $M_n=\dfrac{S_n}{n}$ se concentre autour de l'espérance quand $n$ grandit.

Partie 1 ★ Répéter une expérience

Épreuves successives indépendantes

Arbre pondéré

La probabilité d'une issue (chemin) est le produit des probabilités rencontrées le long des branches.

p q p q p q S E S E S E

Exemple : $\mathbb P(\text{S puis S})=p\times p=p^2$, avec $q=1-p$.

Partie 1 Succès ou échec

Loi de Bernoulli

$X\hookrightarrow b(p)$

$X(\Omega)=\{0,1\}$ avec $\mathbb P(X=1)=p$ et $\mathbb P(X=0)=1-p$.

Paramètres
$$\mathbb E(X)=p \qquad \mathrm{Var}(X)=p(1-p)$$
Partie 1 ★ Compter les succès

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

$X\hookrightarrow\mathcal B(n,p)$ : nombre de succès sur $n$ répétitions
$$\mathbb P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}$$
0 5 10 k

Loi $\mathcal B(10;0{,}5)$ : les valeurs se massent autour de $\mathbb E(X)=np$.

Partie 1 Les paramètres clés

Espérance et variance d'une binomiale

$X\hookrightarrow\mathcal B(n,p)$
$$\mathbb E(X)=np \qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p) \qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$$
Vérification

La somme $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1$.

Partie 2 ★ L'addition se respecte

Linéarité de l'espérance

Toujours vraie
$$\mathbb E(aX+bY)=a\,\mathbb E(X)+b\,\mathbb E(Y)$$

En particulier $\mathbb E(X+Y)=\mathbb E(X)+\mathbb E(Y)$, sans hypothèse d'indépendance.

Partie 2 Transformer une variable

Espérance et variance de $aX+b$

Action d'une fonction affine
$$\mathbb E(aX+b)=a\,\mathbb E(X)+b$$
$$\mathrm{Var}(aX+b)=a^{2}\,\mathrm{Var}(X) \qquad \sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$$
Partie 2 Quand l'indépendance compte

Variables aléatoires indépendantes

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes
$$\mathbb E(XY)=\mathbb E(X)\,\mathbb E(Y) \qquad \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)$$
Attention

La variance n'est additive que sous indépendance ; l'espérance, elle, l'est toujours.

Partie 2 ★ Moyenne de $n$ variables

Échantillon : somme et moyenne

$M_n=\dfrac{S_n}{n}$ pour $n$ variables i.i.d. ($\mu,\sigma$)
$$\mathbb E(M_n)=\mu \qquad \mathrm{Var}(M_n)=\frac{\sigma^{2}}{n} \qquad \sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
n petit n grand

Plus $n$ est grand, plus la moyenne $M_n$ se resserre autour de $\mu$.

Partie 3 Une première majoration

Inégalité de Markov

Pour $X\geqslant0$ et $a\gt0$
$$\mathbb P(X\geqslant a)\leqslant\frac{\mathbb E(X)}{a}$$
Remarque

Majoration souvent grossière, mais valable sans connaître toute la loi de $X$.

Partie 3 ★ Contrôler les écarts

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour tout $\varepsilon\gt0$
$$\mathbb P\big(|X-\mathbb E(X)|\geqslant\varepsilon\big)\leqslant\frac{\mathrm{Var}(X)}{\varepsilon^{2}}$$
E(X)

Les queues (en rouge), à plus de $\varepsilon$ de la moyenne, sont contrôlées par la variance.

Partie 3 ★ La régularité émerge

Loi des grands nombres

Inégalité de concentration
$$\mathbb P\big(|M_n-\mu|\geqslant\varepsilon\big)\leqslant\frac{\sigma^{2}}{n\,\varepsilon^{2}}\ \xrightarrow[n\to+\infty]{}\ 0$$
E(X) n Mn

La moyenne $M_n$ converge vers $\mu$ : c'est la loi des grands nombres.

Partie 3 Le cas de Bernoulli

Loi des grands nombres et fréquences

$X_i\hookrightarrow b(p)$ indépendantes
$$\mathbb P\big(|M_n-p|\geqslant\varepsilon\big)\leqslant\frac{p(1-p)}{n\,\varepsilon^{2}}$$
Interprétation

La fréquence observée des succès se rapproche de la probabilité $p$ quand $n$ grandit.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Binomiale$\mathbb P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$
Bin. : E, Var$\mathbb E=np$ ; $\mathrm{Var}=np(1-p)$
Linéarité$\mathbb E(aX+bY)=a\mathbb E(X)+b\mathbb E(Y)$
Affine$\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$
Échantillon$\mathbb E(M_n)=\mu$ ; $\mathrm{Var}(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}$
Tchebychev$\mathbb P(|X-\mathbb E(X)|\geqslant\varepsilon)\leqslant\dfrac{\mathrm{Var}(X)}{\varepsilon^2}$
Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège
  • $\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$ : le $+b$ disparaît, le $a$ est au carré.
  • $\mathbb E(X+Y)$ : toujours additive ; $\mathrm{Var}(X+Y)$ : seulement si indépendantes.
  • Markov exige $X\geqslant0$ ; Bienaymé-Tchebychev s'applique à toute variable.
  • $M_n$ se concentre ($\mathrm{Var}=\sigma^2/n$) ; ne pas confondre avec $S_n$ ($\mathrm{Var}=n\sigma^2$).
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Quiz éclair

Q1$X\hookrightarrow\mathcal B(n,p)$ : $\mathbb E(X)$ et $\mathrm{Var}(X)$ ?
$\mathbb E(X)=np$ et $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$.
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Q2$\mathbb P(X=k)$ pour une loi binomiale ?
$\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$.
▸ cliquer pour révéler
Q3$\mathrm{Var}(3X+5)$ en fonction de $\mathrm{Var}(X)$ ?
$9\,\mathrm{Var}(X)$.
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Q4Vers quoi tend $M_n=\dfrac{S_n}{n}$ ?
Vers $\mu$ ; pour Bernoulli, la fréquence tend vers $p$.
▸ cliquer pour révéler
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