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Fiche de révision Terminale spé

Les nombres complexes

Chapitre 24 — un nouvel ensemble $\mathbb{C}$ où $i^2=-1$ : forme algébrique, conjugué, module, et toute la géométrie du plan complexe.

De Bombelli (qui ose $\sqrt{-1}$) à Euler (la notation $i$) et Gauss (le plan complexe).

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Chapitre 24 Vue d'ensemble

Au programme

Partie 1 — Calculer
  • Forme algébrique, parties réelle et imaginaire
  • Équations, puissances de $i$, inverse et quotient
  • Le conjugué et ses propriétés
Partie 2 — Géométrie
  • Affixe d'un point, d'un vecteur
  • Module et distance
  • Cercles, médiatrices et inégalité triangulaire
L'idée forte

Le plan complexe traduit la géométrie en calculs sur les nombres : souvent bien plus simples.

Partie 1 Le point de départ

Un nombre $i$ tel que $i^2=-1$

Définition

Il existe un ensemble $\mathbb{C}\supset\mathbb{R}$ et un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$. Tout complexe s'écrit sous forme algébrique :

$$z=a+bi,\qquad a,b\in\mathbb{R}$$
Vocabulaire

$a=\operatorname{Re}(z)$ est la partie réelle, $b=\operatorname{Im}(z)$ la partie imaginaire (un réel !). Si $a=0$, $z$ est imaginaire pur ($z\in i\mathbb{R}$).

Partie 1 Représentation

Le plan complexe

Affixe d'un point
Re Im O a b M(z)

Le point $M$ d'affixe $z=a+bi$ : abscisse $\operatorname{Re}(z)=a$, ordonnée $\operatorname{Im}(z)=b$.

Partie 1 ★ Le réflexe d'identification

L'égalité dans $\mathbb{C}$

Identification

Deux complexes sont égaux si, et seulement si, leurs parties réelles et imaginaires coïncident :

$$a+bi=a'+b'i \iff a=a' \ \text{ et }\ b=b'$$
En particulier

$z=0\iff\operatorname{Re}(z)=0$ et $\operatorname{Im}(z)=0$. La forme algébrique est unique : c'est ce qui autorise la méthode d'identification.

Partie 1 Savoir-faire

Résoudre dans $\mathbb{C}$

Méthode — faire apparaître $i^2=-1$
  • $x^2+1=0$ : $\ x^2-i^2=0\Rightarrow(x-i)(x+i)=0\Rightarrow x=\pm i$.
  • $x^2+x+1=0$ : forme canonique $\left(x+\tfrac12\right)^2+\tfrac34=0$, soit $\left(x+\tfrac12\right)^2-\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2=0$, d'où $x=-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}i$.
L'astuce

On remplace $-1$ par $i^2$ pour révéler une différence de carrés $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.

Partie 1 Savoir-faire

Les puissances de $i$

Méthode — une période de 4
$i^0=1$ $i^1=i$ $i^2=-1$ $i^3=-i$ $i^4=1$

Pour calculer $i^n$, on regarde le reste de $n$ modulo $4$.

Exemple

$2026=4\times 506+2$, donc $i^{2026}=(i^4)^{506}\times i^2=-1$.

Partie 1 ★ Savoir-faire

Inverse et quotient

La technique du conjugué

Pour la forme algébrique d'un quotient, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur (qui le rend réel) :

$$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}\,i$$
Exemple

$\dfrac{2+\sqrt{3}\,i}{5-2i}=\dfrac{(2+\sqrt{3}\,i)(5+2i)}{25+4}=\dfrac{10-2\sqrt{3}}{29}+\dfrac{4+5\sqrt{3}}{29}\,i.$

Partie 1 ★ La boîte à outils

Le conjugué

Définition

Le conjugué de $z=a+bi$ est $\overline{z}=a-bi$ : géométriquement, la symétrie par rapport à l'axe réel.

Re Im O M(z) M′

$M'$, symétrique de $M$ par rapport à l'axe réel, a pour affixe $\overline{z}=a-bi$.

Partie 1 ★ À mémoriser

Les propriétés du conjugué

Identités clés
  • $z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)$ et $z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}(z)$
  • $z\,\overline{z}=|z|^2$
  • $z\in\mathbb{R}\iff z=\overline{z}$ ; $\ z\in i\mathbb{R}\iff z=-\overline{z}$
Le conjugué se distribue

$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$, $\ \ \overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$, $\ \ \overline{z'/z}=\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}$, $\ \ \overline{z^{\,n}}=\overline{z}^{\,n}$.

Partie 2 ★ Le plan complexe

Les affixes

Définition

Le point $M(a,b)$ a pour affixe $z_M=a+bi$ ; de même pour un vecteur $\vec{U}(a,b)$. Chaque complexe correspond à un unique point.

Formules à connaître
  • $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$
  • Milieu de $[AB]$ : $\ z_E=\dfrac{z_A+z_B}{2}$
  • $z_{\vec{U}+\vec{V}}=z_{\vec{U}}+z_{\vec{V}}$ et $z_{\lambda\vec{U}}=\lambda\,z_{\vec{U}}$
Partie 2 Savoir-faire

La géométrie par les affixes

Méthode — traduire une égalité vectorielle
  • Parallélogramme $ABCD$ : $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ donne $z_D=z_A-z_B+z_C$.
  • Centre de gravité : $z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}$.
  • Symétrie centrale de centre $A$ : $z'=-z+2z_A$.
Le réflexe

Une relation vectorielle se réécrit directement sur les affixes — souvent plus rapide qu'avec les coordonnées.

Partie 2 ★ Notion clé

Le module

Définition
Re Im O x y |z| M(z)

Le module est la distance $OM$ : $\ |z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Partie 2 À mémoriser

Les propriétés du module

Propriétés
  • $z\,\overline{z}=|z|^2$ — le pont entre module et conjugué
  • $|z|=|-z|=|\overline{z}|$ et $|z|=0\iff z=0$
  • $|\operatorname{Re}(z)|\leqslant|z|$ et $|\operatorname{Im}(z)|\leqslant|z|$
Distance

Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ : $\ AB=|z_B-z_A|$. Le module mesure les longueurs.

Partie 2 Calcul

Le module et les opérations

Le module est multiplicatif
$$|zz'|=|z|\,|z'|,\qquad |z^{\,n}|=|z|^{\,n},\qquad \left|\frac{z'}{z}\right|=\frac{|z'|}{|z|}$$

En revanche $|z+z'|\neq|z|+|z'|$ en général (voir l'inégalité triangulaire).

Cercle unité

$\mathbb{U}=\{z\mid |z|=1\}$ est stable par produit et inverse. Exemple : $\left|\left(\tfrac{1}{\sqrt2}+\tfrac{1}{\sqrt2}\,i\right)^{2026}\right|=1^{2026}=1.$

Partie 2 ★ Savoir-faire

Reconnaître un lieu de points

Les deux lieux à connaître
Ω M r

$|z-z_0|=r$ : cercle

A B

$|z-z_1|=|z-z_2|$ : médiatrice

Et aussi

$|z-z_0|\lt r$ : disque ouvert de centre $\Omega(z_0)$. Distance : $AB=|z_B-z_A|$.

Partie 2 Un dernier outil

L'inégalité triangulaire

Inégalité triangulaire
$$|z+z'|\leqslant|z|+|z'|$$
O M(z) N(z′) |z| |z′| |z−z′|

Triangle $OMN$ : un côté est plus court que la somme des deux autres.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

Forme algébrique$z=a+bi$, $\ i^2=-1$
Égalité$a+bi=a'+b'i\iff a=a',\ b=b'$
Conjugué$\overline{z}=a-bi$, $\ z\overline{z}=|z|^2$
Module$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$, multiplicatif
Affixe$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ ; $\ AB=|z_B-z_A|$
Lieux$|z-z_0|=r$ cercle ; $|z-z_1|=|z-z_2|$ médiatrice
Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège
  • $\operatorname{Im}(z)$ est un réel (c'est $b$), pas $bi$.
  • $|z+z'|\neq|z|+|z'|$ en général (seulement $\leqslant$).
  • Aucun ordre dans $\mathbb{C}$ : écrire $z\lt z'$ n'a pas de sens.
  • $|z|=|z'|$ n'entraîne pas $z=z'$ (ex. $i$ et $1$).
Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Que vaut $i^{2026}$ ?
$-1$, car $2026\equiv 2\ [4]$.
▸ cliquer pour révéler
Q2Que vaut $z\,\overline{z}$ ?
$|z|^2$ (un réel positif).
▸ cliquer pour révéler
Q3Affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?
$z_B-z_A$.
▸ cliquer pour révéler
Q4Lieu des points tels que $|z-z_1|=|z-z_2|$ ?
La médiatrice de $[AB]$, avec $A(z_1)$ et $B(z_2)$.
▸ cliquer pour révéler
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Chapitre 24 — Les nombres complexes