Chapitre 25 — du module et de l'argument à la forme exponentielle $z=re^{i\theta}$ : l'outil idéal pour les produits, les puissances et toute la trigonométrie.
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Passer en module–argument transforme les produits et les puissances en simples additions d'angles.
Pour $M\neq O$, le couple $[r,\theta]$ avec $r\gt 0$ et $\theta\in\,]-\pi,\pi]$ est le couple de coordonnées polaires de $M$ lorsque :
La distance $r=OM$ et l'angle orienté $\theta\equiv(\vec u,\overrightarrow{OM})\ [2\pi]$.
$M(-1,\sqrt3)$ : $r=\sqrt{1+3}=2$, puis $\cos\theta=-\tfrac12$ et $\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}$, d'où $\theta=\tfrac{2\pi}{3}$. Donc $M\left[2,\tfrac{2\pi}{3}\right]$.
Pour $z\neq 0$ d'image $M$, un argument de $z$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec u,\overrightarrow{OM})$ :
Cas immédiats : $z\in\mathbb{R}_+^*\Leftrightarrow\arg z\equiv 0$, $z\in\mathbb{R}_-^*\Leftrightarrow\arg z\equiv\pi$, $z\in i\mathbb{R}^*\Leftrightarrow\arg z\equiv\tfrac{\pi}{2}\ [\pi]$.
Tout complexe $z\neq 0$ s'écrit, avec $r=|z|$ et $\theta\equiv\arg(z)\ [2\pi]$ :
À partir de $z=a+bi$ :
On cherche $\theta$ avec $\cos\theta=-\tfrac{1}{\sqrt2}$ et $\sin\theta=\tfrac{1}{\sqrt2}$, soit $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$. Donc :
Pour $z,z'$ non nuls :
Deux complexes sont égaux quand ils ont même module et même argument modulo $2\pi$ — c'est l'égalité de leurs points images.
Multiplier : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.
$\overline{z}$ : symétrie par rapport à l'axe réel. $-z$ : symétrie par rapport à $O$.
Si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$, alors :
$z_1=2+2i=2\sqrt2\left(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\right)$ et $z_2=1+i\sqrt3=2\left(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\right)$.
$|Z|=\dfrac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2$ et $\arg(Z)\equiv\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{3}\equiv-\tfrac{\pi}{12}\ [2\pi]$, donc :
Pour $n\in\mathbb{N}$ : $|z^n|=|z|^n$ et $\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\ [2\pi]$. En forme trigo :
Une puissance, c'est multiplier le module à la puissance et multiplier l'angle par $n$ : le calcul devient immédiat.
L'angle devient $2022\times\tfrac{2\pi}{3}=1348\pi+\dots$ ; comme $\tfrac{4044\pi}{3}=674\times 2\pi$, l'argument est nul :
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $n$ :
C'est le cas $r=1$ de la puissance : sur le cercle, élever à la puissance $n$ revient à multiplier l'angle par $n$.
On développe $(\cos x+i\sin x)^n$, puis on identifie parties réelle et imaginaire.
Parce que $x\mapsto\cos x+i\sin x$ transforme une somme en produit (comme $\exp$), on pose :
Sur le cercle $\mathbb{U}$ : abscisse $\cos x$, ordonnée $\sin x$.
$z=1-i\sqrt3=2\left(\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
La forme exponentielle transforme les produits de complexes en additions d'exposants.
À linéariser ($\cos^2 x$, $\sin^3 x$…), à redémontrer les formules de trigo et à en établir de nouvelles.
On part de $2i\sin 2x=e^{2ix}-e^{-2ix}$ et on factorise :
Après simplification par $2i$ :
Ce ne sont pas des formes trigonométriques : le facteur $\cos\tfrac{x}{2}$ ou $\sin\tfrac{x}{2}$ peut être négatif. On retient surtout $|1+e^{ix}|=2\left|\cos\tfrac{x}{2}\right|$.