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Fiche de révision Terminale spé

Équations polynomiales dans $\mathbb{C}$

Chapitre 26 — résoudre dans $\mathbb{C}$ : second degré, racines carrées, factorisation des polynômes, et les racines $n$-ièmes.

Le théorème de d'Alembert–Gauss (1799) : tout polynôme non constant a une racine dans $\mathbb{C}$.

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Chapitre 26 Vue d'ensemble

Au programme

Second degré et racines carrées
  • $az^2+bz+c=0$ à coefficients réels puis complexes
  • Racines carrées d'un complexe : deux méthodes
Polynômes et racines $n$-ièmes
  • Identification, factorisation par $z-a$
  • Racines $n$-ièmes de l'unité $\mathbb{U}_n$ et d'un complexe
L'idée forte

Dans $\mathbb{C}$, tout se factorise : un polynôme de degré $n$ se ramène à $n$ facteurs de degré $1$.

Le résultat fondateur ★

Le théorème fondamental de l'algèbre

Théorème (d'Alembert–Gauss)

Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$.

Ce qu'il faut savoir

C'est un théorème d'existence : il ne donne aucune méthode de calcul. Et à partir du degré $5$ (Galois, Abel), il n'existe pas de formule par radicaux.

Partie 1 Le cas connu, prolongé

$az^2+bz+c=0$ avec $\Delta\lt 0$

Propriété ($a,b,c$ réels)

Si $\Delta\lt 0$, deux racines complexes conjuguées :

$$z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a},\qquad z_2=\overline{z_1}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$
x y O −b/2a z₁ z₂ = z̄₁

Deux racines symétriques par rapport à l'axe réel.

Partie 1 Exploiter les racines

Factorisation, somme et produit

Propriétés
$$az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-\overline{z_1})$$ $$z_1+\overline{z_1}=-\frac{b}{a},\qquad z_1\,\overline{z_1}=\frac{c}{a}$$
Exemple

$z^2-\sqrt3\,z+2=0$ : $\Delta=3-8=-5\lt 0$, d'où :

$$z=\frac{\sqrt3\pm i\sqrt5}{2}$$
Partie 1 Pont avec le chapitre 25

$z^2-2(\cos\theta)\,z+1=0$

Résolution

Pour $\theta\in\,]0,\pi[$, le discriminant réduit $\Delta'=\cos^2\theta-1=-\sin^2\theta\lt 0$, donc :

$$z=\cos\theta\pm i\sin\theta=e^{\pm i\theta}$$
Factorisation
$$z^2-2(\cos\theta)z+1=(z-e^{i\theta})(z-e^{-i\theta})$$
Partie 1 Nouvel objet

Les racines carrées d'un complexe

Définition

Pour $z_0\neq 0$, l'équation $z^2=z_0$ a exactement deux solutions opposées $\delta$ et $-\delta$ : ce sont les racines carrées de $z_0$.

x O δ −δ

On évite le symbole $\sqrt{\ }$, réservé aux réels positifs.

Partie 1 Méthode 1

La méthode algébrique

On pose $z=x+iy$

De $z^2=z_0=a+bi$ et $|z|^2=|z_0|$, on tire le système :

$$\begin{cases}x^2-y^2=a\\ x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\\ 2xy=b\end{cases}$$
Exemple : $z^2=7-24i$

On obtient $x^2=16$, $y^2=9$, $xy=-12\lt 0$, d'où les racines :

$$\delta_1=-4+3i,\qquad \delta_2=4-3i$$
Partie 1 Méthode 2

La méthode trigonométrique

On pose $z=re^{i\theta}$

Utile quand $z_0=|z_0|e^{i\theta_0}$ est facile à obtenir : $z^2=z_0$ donne $r^2=|z_0|$ et $2\theta\equiv\theta_0\ [2\pi]$.

Exemple : $z^2=i$

Comme $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ : $r=1$ et $\theta\equiv\tfrac{\pi}{4}\ [\pi]$, d'où :

$$\delta_1=\frac{1}{\sqrt2}(1+i),\qquad \delta_2=-\delta_1$$
Partie 1 Le cas général

$az^2+bz+c=0$, coefficients complexes

Propriété ($a\in\mathbb{C}^*$)

Soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta=b^2-4ac$. Les deux solutions sont :

$$z_1=\frac{-b+\delta}{2a},\qquad z_2=\frac{-b-\delta}{2a}$$
Différence avec le cas réel

La formule est la même, mais $\delta$ est une racine carrée complexe de $\Delta$ — il n'y a plus de signe de discriminant à discuter.

Partie 1 Exemple complet

$z^2+(2+i)z+(-1+7i)=0$

Discriminant et racine carrée

$\Delta=(2+i)^2-4(-1+7i)=7-24i$, dont une racine carrée est $\delta=4-3i$.

Solutions et factorisation
$$z_1=1-2i,\qquad z_2=-3+i$$ $$z^2+(2+i)z+(-1+7i)=(z-1+2i)(z+3-i)$$
Partie 1 Le réflexe

Résoudre $az^2+bz+c=0$ dans $\mathbb{C}$

Les trois étapes
  • Calculer $\Delta=b^2-4ac$.
  • Déterminer une racine carrée $\delta$ de $\Delta$ ($\delta=\sqrt{\Delta}$ si $\Delta\geqslant 0$ réel ; sinon méthode algébrique ou trigo).
  • Conclure : $z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$, puis factoriser en $a(z-z_1)(z-z_2)$.
Partie 2 Les outils

Polynômes à coefficients complexes

Définition

$p(z)=a_n z^n+\dots+a_1 z+a_0$ avec $a_n\neq 0$ : le degré est $n$.

Identification

Si $p(z)=0$ pour tout $z\in\mathbb{C}$, alors tous ses coefficients sont nuls. Deux polynômes égaux ont donc les mêmes coefficients.

Partie 2 ★ Le théorème clé

Racine $\Leftrightarrow$ facteur $(z-a)$

Propriété

Pour un polynôme $p$ de degré $n\geqslant 1$ :

$$p(a)=0 \iff p(z)=(z-a)\,q(z),\ \ d^\circ q=n-1$$
Vocabulaire

Un complexe $a$ tel que $p(a)=0$ est une racine de $p$ ; on dit aussi que $p$ est divisible par $z-a$.

Partie 2 Mise en pratique

Factoriser un polynôme de degré $3$

$P(z)=z^3+(1+i)z^2+(4-i)z+12-6i$

On cherche une racine réelle $a$ : la partie imaginaire impose $a^2-a-6=0$, et seule $a=-2$ convient aussi à la partie réelle.

Factorisation (par identification)
$$P(z)=(z+2)\bigl(z^2+(-1+i)z+6-3i\bigr)$$

Le facteur de degré $2$ se résout ensuite avec la méthode du second degré.

Partie 2 Degré et racines

Combien de racines au plus ?

Propriété

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines.

Conséquence utile

Un polynôme de degré $n$ qui possède au moins $n+1$ racines (par exemple une infinité) est le polynôme nul.

Partie 2 Une identité utile

La factorisation de $z^n-a^n$

Lemme et propriété
$$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+\dots+z+1)$$ $$z^n-a^n=(z-a)\sum_{k=0}^{n-1}z^{\,n-1-k}a^{k}$$
Cas $n=2$ et $n=3$
$$z^2-a^2=(z-a)(z+a),\quad z^3-a^3=(z-a)(z^2+az+a^2)$$
Partie 3 ★ Un objet central

Les racines $n$-ièmes de l'unité

Propriété

$z^n=1$ a exactement $n$ solutions distinctes :

$$\mathbb{U}_n=\left\{\,u_k=e^{\,i\frac{2k\pi}{n}}\ \middle|\ k\in[\![0,n-1]\!]\,\right\}$$
2π/n u₀=1 u₁ u₂ u₃ u₄ u₅

Un polygone régulier à $n$ sommets sur le cercle unité (ici $n=6$).

Partie 3 Cas concrets

$\mathbb{U}_2$, $\mathbb{U}_3$ et le nombre $j$

Valeurs
$$\mathbb{U}_2=\{-1,\,1\},\qquad \mathbb{U}_3=\{1,\,j,\,j^2\},\ \ j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$$
2π/3 1 j j2

$\mathbb{U}_3$ : un triangle équilatéral, avec $j^2=\overline{j}$.

Partie 3 Structure

Les propriétés de $\mathbb{U}_n$

Propriétés
  • $\mathbb{U}_n=\{1,\,u_1,\,u_1^2,\dots,u_1^{\,n-1}\}$ avec $u_1=e^{i\frac{2\pi}{n}}$
  • Stable par produit et par inverse : $(\mathbb{U}_n,\times)$ est un groupe
  • La somme des racines $n$-ièmes de l'unité vaut $0$
Géométrie

Ces $n$ points sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité, donc leur centre de gravité est $O$ : d'où la somme nulle.

Partie 3 Le cas général

Racines $n$-ièmes d'un complexe

Propriété

Pour $Z=\rho\,e^{i\alpha}$ ($\rho\gt 0$), l'équation $z^n=Z$ a $n$ solutions :

$$z_k=\sqrt[n]{\rho}\;e^{\,i\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)},\quad k\in[\![0,n-1]\!]$$
Astuce

Si on connaît une racine évidente, les $n$ racines s'obtiennent en la multipliant par chacune des racines $n$-ièmes de l'unité.

Partie 3 Exemple visuel

Racines quatrièmes de $(1+i)^4$

$z^4=(1+i)^4$

$\dfrac{z}{1+i}$ est une racine quatrième de $1$ ($1,\,i,\,-1,\,-i$), d'où :

$$z\in\{\,1+i,\ -1+i,\ -1-i,\ 1-i\,\}$$
x O 1+i -1+i -1-i 1-i

Quatre points en carré, centrés en $O$.

Synthèse À revoir 5 min avant

Mémo express

d'Alembert–Gausstout polynôme non constant a une racine dans $\mathbb{C}$
Second degré$z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$, $\ \delta^2=\Delta$
Racine, facteur$p(a)=0\iff p(z)=(z-a)q(z)$
Nombre de racinesdegré $n$ : au plus $n$ racines
Racines de l'unité$\mathbb{U}_n=\{e^{i\frac{2k\pi}{n}}\}$, somme $=0$
Racines $n$-ièmes de $Z$$z_k=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}$
Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège
  • Pas de $\sqrt{\ }$ pour un complexe : on parle d'une racine carrée $\delta$ (il y en a deux : $\pm\delta$).
  • Coefficients réels et $\Delta\lt 0$ : racines conjuguées ; coefficients complexes : ce n'est plus vrai.
  • $z^n=Z$ a toujours exactement $n$ solutions distinctes (si $Z\neq 0$).
Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Racines de $z^2+1=0$ dans $\mathbb{C}$ ?
$i$ et $-i$.
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Q2Combien de racines pour $z^5=1$ ?
Exactement $5$ : les sommets d'un pentagone régulier.
▸ cliquer pour révéler
Q3Que vaut la somme des racines $n$-ièmes de l'unité ?
$0$.
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Q4Si $p(a)=0$, par quoi $p$ est-il divisible ?
Par $z-a$.
▸ cliquer pour révéler
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Chapitre 26 — Équations polynomiales dans ℂ