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Fiche de révision Terminale spé

Angles dans le plan complexe

Chapitre 27 — évaluer des angles orientés à partir des affixes : tout angle se lit comme l'argument d'un quotient.

Le plan d'Argand–Gauss transforme la géométrie des angles en calcul sur les arguments.

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Chapitre 27 Vue d'ensemble

Au programme

Quatre angles

$(\vec u,\overrightarrow{AB})$, $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$
$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$

Applications

Lieux : demi-droite, demi-cercle, cercle
Rotations, alignement, orthogonalité

L'idée forte

Un angle orienté de vecteurs est l'argument du quotient des affixes correspondantes.

Le fil conducteur ★

Un angle orienté, un argument

Rappel

Pour $z\neq 0$ d'image $M$ : $(\vec u,\overrightarrow{OM})\equiv\arg(z)\ [2\pi]$.

Stratégie

Pour tout angle, on revient à $\vec u$ par la relation de Chasles : il s'exprime alors comme une différence d'arguments, donc l'argument d'un quotient.

Partie 1 Premier angle

L'angle $(\vec u,\overrightarrow{AB})$

Propriété

$$(\vec u,\overrightarrow{AB})\equiv\arg(z_B-z_A)\ [2\pi]$$

L'angle de $\overrightarrow{AB}$ avec $\vec u$ est l'argument de l'affixe $z_B-z_A$.

Partie 1 Un premier lieu

Un argument fixé : une demi-droite

Exemple

$\arg(z-i)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$ équivaut à $(\vec u,\overrightarrow{JM})\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$, avec $J(i)$. C'est la demi-droite $]JA)$, $A$ d'affixe $1+2i$.

Modulo π

Avec $\arg(z-i)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [\pi]$, on obtient la droite $(JA)$ entière, privée du point $J$.

Partie 1 Deuxième angle

L'angle $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$

Propriété

$$(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\arg\!\left(\frac{z_B}{z_A}\right)\ [2\pi]$$

L'angle entre $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ est l'argument du quotient $z_B/z_A$.

Partie 1 Application phare

La rotation de centre $O$

Propriété

$M'(z')$ image de $M(z)$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ :

$$z'=e^{i\theta}\,z$$

Même distance à $O$, et un angle $\theta$ : c'est une rotation.

Partie 1 Cas utiles

Le quart de tour et la réciproque

Quart de tour ($\theta=\frac{\pi}{2}$)

$\dfrac{z'}{z}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i$, donc :

$$z'=iz$$

Réciproque

Si $z'=az$ avec $|a|=1$, alors $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\arg(a)$.

Partie 1 ★ L'angle le plus utile

L'angle $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$

Propriété

$$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\equiv\arg\!\left(\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)\ [2\pi]$$

L'angle au sommet $C$ du triangle, lu sur le quotient $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}$.

Partie 2 Deux critères clés

Alignement et orthogonalité

Alignement

$A$, $B$, $C$ alignés (avec $C\neq A,B$) :

$$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\equiv 0\ [\pi] \iff \frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\in\mathbb{R}^*$$

Orthogonalité

$$(AB)\perp(CD) \iff \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\ \text{imaginaire pur}$$

Partie 2 Un lieu remarquable

Un angle droit : le demi-cercle

Exemple

$\arg\!\left(\dfrac{z-i}{z+1}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ équivaut à $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MJ})\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ : le demi-cercle de diamètre $[AJ]$, privé de $A(-1)$ et $J(i)$.

Tout point $M$ du demi-cercle voit $[AJ]$ sous un angle droit.

Partie 2 En passant modulo π

Le cercle complet

Exemple

Avec $\arg\!\left(\dfrac{z-i}{z+1}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$, l'angle $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MJ})$ vaut $\dfrac{\pi}{2}$ ou $-\dfrac{\pi}{2}$.

Conclusion

On réunit les deux demi-cercles : le lieu est le cercle entier de diamètre $[AJ]$, privé des points $A(-1)$ et $J(i)$.

Partie 2 Le cas général

L'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$

Propriété

Pour $A\neq B$ et $C\neq D$ :

$$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})\equiv\arg\!\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\ [2\pi]$$

À retenir

Au numérateur l'affixe du vecteur d'arrivée $\overrightarrow{CD}$, au dénominateur celle du vecteur de départ $\overrightarrow{AB}$.

Synthèse Le mémo essentiel

Les quatre formules d'angle

À connaître par cœur

$$(\vec u,\overrightarrow{AB})\equiv\arg(z_B-z_A)$$ $$(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\arg\!\left(\frac{z_B}{z_A}\right)$$ $$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\equiv\arg\!\left(\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)$$ $$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})\equiv\arg\!\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)$$

Toutes modulo $2\pi$ : un angle orienté est l'argument du quotient des affixes.

Vigilance Le jour J

Les pièges à éviter

Piège

Respecter l'ordre : $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$ donne $z_B-z_C$ au numérateur (le vecteur d'arrivée).
Modulo $2\pi$ pour une demi-droite ou un demi-cercle ; modulo $\pi$ pour une droite ou un cercle entier.
Toujours exclure les points qui annulent un dénominateur.

Auto-évaluation Cliquez pour la réponse

Quiz éclair

Q1Que vaut $(\vec u,\overrightarrow{AB})$ ?

$\arg(z_B-z_A)\ [2\pi]$.

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Q2Image de $M(z)$ par la rotation de centre $O$, angle $\frac{\pi}{2}$ ?

$M'$ d'affixe $z'=iz$.

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Q3$A$, $B$, $C$ alignés se traduit comment ?

$\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\in\mathbb{R}^*$.

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Q4Lieu où $\arg\!\left(\frac{z-i}{z+1}\right)\equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi]$ ?

Le cercle de diamètre $[AJ]$ privé de $A$ et $J$.

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