Chapitre 28 — les matrices : tableaux de nombres que l'on additionne, multiplie, inverse, et qui résolvent les systèmes linéaires.
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Le calcul matriciel ressemble à celui des réels — sauf que le produit n'est pas commutatif.
Une matrice $A=(a_{ij})$ de taille $n\times p$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes. On note $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ l'ensemble de ces matrices.
$a_{ij}$ est à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$.
Deux matrices de même taille sont égales lorsque leurs coefficients coïncident :
Deux matrices de tailles différentes ne sont jamais égales — et ne peuvent même pas être comparées.
On additionne coefficient par coefficient : $A+B=(a_{ij}+b_{ij})$, et $-A=(-a_{ij})$.
$(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),+)$ est un groupe commutatif : addition commutative, associative, de neutre $(0)$, tout élément ayant un opposé.
Pour $k\in\mathbb{R}$ : $kA=(k\,a_{ij})$. On a $k(A+B)=kA+kB$ et $(k+k')A=kA+k'A$.
Pour $n=2$ ou $3$, c'est exactement le produit scalaire en base orthonormale.
$c_{ik}$ = (ligne $i$ de $A$) $\times$ (colonne $k$ de $B$). Possible si colonnes de $A$ = lignes de $B$.
Tout fonctionne comme dans $\mathbb{R}$… à l'exception de la commutativité. L'ordre des facteurs compte.
Des $1$ sur la diagonale, des $0$ ailleurs : $I_n$ joue le rôle de $1$.
En général $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ : on ne simplifie que si $A$ et $B$ commutent.
Une matrice diagonale n'a de coefficients non nuls que sur sa diagonale. Sa trace est $\operatorname{tr}(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ii}$.
Si tous les $d_i\neq 0$, la diagonale $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ est inversible, d'inverse $\operatorname{diag}\!\left(\tfrac{1}{d_1},\dots,\tfrac{1}{d_n}\right)$.
$A$ (carrée d'ordre $n$) est inversible s'il existe $M$ telle que :
Quand elle existe, l'inverse $A^{-1}$ est unique. Attention : toutes les matrices non nulles ne sont pas inversibles.
L'inverse d'un produit renverse l'ordre des facteurs : $B^{-1}A^{-1}$, et non $A^{-1}B^{-1}$.
Si $A$ est inversible, l'équation a une unique solution :
On multiplie à gauche par $A^{-1}$ : c'est aussi une méthode pour calculer $A^{-1}$.
$A=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ est inversible si, et seulement si, $\det(A)=ad-bc\neq 0$ :
$\det = ad-bc$ : produit de la diagonale moins celui de l'antidiagonale.
$\det(A)=1\neq 0$, donc $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -9 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$, d'où :
$A^k=\underbrace{A\times\cdots\times A}_{k\ \text{facteurs}}$, avec $A^0=I_n$ et $A^1=A$.
On élève chaque coefficient diagonal à la puissance :
Le calcul de $A^n$ est central dans les modèles d'évolution ; quand $A$ n'est pas diagonale, on cherche souvent à s'y ramener.