Chapitre 30 — faire évoluer un système dans le temps avec les matrices : suites matricielles, états stables et chaînes de Markov.
Naviguez avec les flèches ← → du clavier, ou via le Sommaire.
Une transition se code par une matrice : itérer le processus, c'est élever cette matrice à la puissance.
Une suite $(X_n)$ de matrices colonnes est une matrice colonne dont les coefficients sont des suites numériques ($n$ joue le rôle du temps).
$(X_n)$ converge si, et seulement si, chaque coefficient converge ; la limite est la matrice des limites.
Il suffit qu'un seul coefficient diverge pour que toute la suite de matrices diverge.
Si $X_{n+1}=A X_n$ avec $A$ carrée, alors par récurrence :
Tout se ramène au calcul de $A^n$ : c'est là que les puissances de matrices deviennent décisives.
Si $(X_n)$ avec $X_{n+1}=AX_n$ converge vers $X$, alors $X$ est un état stable :
Une suite peut admettre un état stable et diverger : avec $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ est stable mais $X_n$ diverge.
Si $X_{n+1}=AX_n+B$ et si $S$ est un état stable ($S=AS+B$), alors :
On pose $U_n=X_n-S$ : la suite $(U_n)$ devient géométrique, $U_{n+1}=AU_n$.
Si $I_p-A$ est inversible, l'état stable est unique :
Pour $x_{n+1}=ax_n+b$ avec $a\neq 1$ : $s=\dfrac{b}{1-a}$ et $x_n=a^n(x_0-s)+s$.
Deux états ($1$ : travaille, $2$ : ne travaille pas). Les arcs portent les probabilités de transition d'un jour au suivant.
Graphe orienté pondéré : chaque poids est une probabilité de transition.
$T=(t_{ij})$ où $t_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$. On la lit en la bordant par les états.
Chaque ligne est une loi de probabilité : la somme de chaque ligne vaut $1$.
Chaque ligne de $T$ somme bien à $1$.
Avec $\pi_n=\begin{pmatrix} P(X_n=1) & P(X_n=2) \end{pmatrix}$ (matrice ligne) :
La distribution est une matrice ligne, multipliée à droite par $T$ : l'ordre $\pi_n T$ compte.
Une matrice ligne $\pi$ est une distribution invariante lorsqu'elle est inchangée par une transition :
On la cherche en résolvant $\pi T=\pi$ avec la condition que ses coefficients ont pour somme $1$.
Avec $T=\begin{pmatrix} 1-a & a \\ b & 1-b \end{pmatrix}$ et $a,b\in\,]0,1[$, $\pi_n$ converge, quel que soit $\pi_0$, vers :
Résultat admis : si $T$ ne contient aucun $0$, $\pi_n$ converge vers l'unique $\pi$.
Avec $T=\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$ et $x+y=1$, on obtient $0{,}6\,x=0{,}8\,y$, d'où :
$p_n=P(X_n=1)$ converge vers $\dfrac{4}{7}$ : à terme, $4$ chances sur $7$ qu'il travaille.